Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

47
дальнейшем, если не будет оговорено противное, будем предполагать условие
(3.4.) выполненным.
Читатель, которому не хотелось бы работать с интегрируемыми по Лебегу
функциями
][tv и соответственно с абсолютно непрерывными функциями
∆
x [t ]
из (3.3), может без искажения существа дела определять ломаную Эйлера
∆
x
[t ]
=
∆
x [t ,
*
t ,
*
x , U , v [•]], как непрерывную кусочно-дифференцируемую функцию
∆
x [t ], которая удовлетворяет условию
∆
x [
*
t ] =
*
x и равенству (3.3.) при всех
тех значениях
i
t
τ
≠ , при которых непрерывна кусочно-непрерывная функция
v [t ]. И здесь при выполнении неравенства (4) при любом выборе },{
**
xt , U ,
∆
и
v
[t ] согласно известным теоремам из анализа существует решение
∆
x [t ,
*
t ,
*
x ,
U
,
v
[•]], продолжимое на всю полуось [
*
t , ∞). Поясним, пользуясь, случаем,
что точка на месте аргумента в символе
v [•] говорит о том, что речь идет не о
значении функции
v [t ] при том или ином значении аргумента t , а обо всей
этой функции, как едином целом.
Движением
x
[t ] =
∆
x [t ,
*
t ,
*
x , U , v [•]], порожденным стратегией U ÷
),( xtu из позиции },{
**
xt , будем называть всякую функцию
x
[t ], для которой на
всяком отрезке
ϑ
≤≤ tt
*
найдется последовательность ломаных x
∆(k)
[t ,
*
t ,
)(k
x ,
)(k
x ,
)(k
v [•]], равномерно сходящаяся к ][tx на отрезке
ϑ
≤≤ tt
*
при условии
0)(suplim
][][
1
=−
+
k
i
k
ii
ττ
, когда k →∞.
Надлежит заметить, что стратегия
U при фиксированной начальной
позиции
},{
**
xt порождает, вообще говоря, не одно движение
x
[t ,
*
t
,
*
x
, U ], а
целое множество таких движений в соответствии с многообразием
последовательностей реализаций
)(k
v [t ],
)(k
∆
,
)(k
x , которые могут случиться при
построении ломаных Эйлера
)(k
x
∆
[t ,
*
t ,
)(k
x , U ,
)(k
v [•]] определяющих
x
[t ].
Следует обратить внимание и на то, что от движения x[t] не требуется,
чтобы оно было решением дифференциального уравнения
])[]),,(,,( tvxtuxtfx =
&
,
которое можно получить из уравнения (3.1.), подставляя вместо u функцию
),( xtu , а вместо v – какую-либо подходящую функцию v [t ]. Движение
x
[t ]
просто определяется как предельная функция для какой-нибудь подходящей
последовательности ломаных Эйлера
)(k
x
∆
[t ]. Такое определение движений
x
[t ] как некоторых идеальных предельных элементов можно объяснить
следующими обстоятельствами. Полезные законы управления
),( xtu в игровых
задачах динамики часто носят разрывный характер. Данное выше определение
движения
x
[t ] описывает его в меру строго, как математический объект. В то
же время оно не требует заботы о функциональных свойствах (непрерывность,
дифференцируемость и т. д.) функций
),( xtu
, отождествляемых со стратегиями
U . Существование движений
x
[t ,
*
t ,
*
x , U ] и их удобные математические
свойства проверяются без большого труда при весьма общих предположениях.
В самом деле, при условии (3.4.) любая последовательность
)( j
x
∆
[t ,
*
t
,
)( j
x
, U ,
)( j
v [•]] (
j
= 1, 2, ...), где 0)(suplim
][][
1
=τ−τ
+
j
i
j
i
i
, lim
x
(j)
=
x
при
j
→ ∞, образует на
всяком конечном отрезке [
*
t ,
ϑ
] множество равномерно ограниченных и

Страницы