Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

48
равностепенно непрерывных функций. Отсюда на основании известных теорем
математического анализа вытекает возможность выбора из последовательности
{
)(k
x
∆
[t ]} полпоследовательности {
)( jk
x
∆
[t ]} ( k = 1, 2, ...), которая будет
сходиться равномерно на каждом конечном отрезке [
*
t
,
ϑ
ϑ] к некоторой
функции
x
[t ]. Эта функция
k
[t ] и явится движением
x
[t ,
*
t ,
*
x ,
U
].
Таким образом, мы видим, что при всяком выборе {
*
t ,
*
x } и U ÷ ),( xtu
будет существовать, по крайней мере, одно движение
x
[t ,
*
t
,
*
x
, U ],
продолжимое на всю полуось
*
t < t < ∞. В то же время, данное абстрактное
определение стратегии
U
и движения
x
[t ] допускает разумный переход к
реализуемым на практике процедурам управления.
Этот переход осуществляется обращением к ломаным Эйлера
∆
x [t ] (3.3),
ибо, как оказывается, эти ломаные хорошо аппроксимируют движения
x
[t ]. В
самом деле, справедливо следующее утверждение, доказательство которого мы
опустим.
Лемма 1. Выберем какую-нибудь стратегию
U ÷ ),( xtu . Зафиксируем
какую-либо ограниченную область
G в пространстве {t ,
x
} и число ϑ. Тогда
для любого числа ε > 0 найдется число δ > 0, такое, что при всяком выборе
позиции {
*
t ,
*
x } ∈ G ,
*
t ≤ ϑ, для всякой ломаной Эйлера
∆
x
[t ] =
∆
x
[t ,
*
t ,
**
x ,
U , v [•]] (3), удовлетворяющей условию τ
i+1
- τ
i
≤ δ (i = 0, 1, ...), ||
**
x —
*
x || ≤ δ,
найдется, по крайней мере, одно движение
x
[t ] =
x
[t ,
*
t ,
*
x ,U ], такое, что
ε
≤−
∆
][][ txtx
при
*
t ≤ t ≤ ϑ. (3.5.)
Из этого утверждения, как мы увидим ниже, для многих из
рассматриваемых нами игр будет вытекать такой вывод.
(А) Пусть некоторая стратегия
U обеспечивает первому игроку на
идеальных движениях
][tx некоторый исход игры γ.
Если на деле этот игрок выберет эту же стратегию
U и будет реализовать
ломаные Эйлера с достаточно малым шагом δ = sup(τ
i+1
- τ
i
), то ему будет
гарантирован исход игры γ
∆
, отличающийся от идеального не более чем на
сколь угодно малую, наперед выбранную положительную величину ε.
Это несколько расплывчатое общее утверждение (А) будет
конкретизировано в дальнейшем в более строгой форме в соответствии с
содержанием тех задач, которые будут рассматриваться.
Итак, мы определили класс стратегий
U
÷ ),( xtu первого игрока-союзника
и порождаемые этими стратегиями движения
x
[t ,
*
t ,
*
x ,U ]. Аналогичным
образом с понятной перестановкой букв u и v определяется класс стратегий
V
÷
),( xtu второго игрока-союзника и порождаемые этими стратегиями движения
x
[t ,
*
t ,
*
x ,
U
].
Как мы видели, эти абстрактные определения имеют довольно удобный
выход к процедурам управления, осуществимым на практике в виде ломаных
x

Страницы