Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

51
причем для разбиений ∆
(k)
и ∆*
(k)
выполняются предельные соотношения
0lim
)(
=
∞→
k
k
δ
,
0*lim
)(
=
∞→
k
k
δ
(3.9.)
где
)(sup
][][
1
)(
k
i
k
i
i
k
τ−τ=δ
+
и )(sup
][]*[
1
)*(
k
i
k
i
i
k
τ−τ=δ
+
. Здесь скалярная функция v(x) =
v(x1, x2) определена равенством
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−≥<
−>≥−
−<<
−≤≥
=
12
12
12
12
21
20
201
20
201
),(
xxxили
xxxпри
xxxили
xxxпри
xxu
i
i
i
i
(3.10.)
Полезно заметить, что, начиная с некоторого момента времени (√3 в
первом случае и 2 во втором случае), каждое из рассматриваемых движений x[t,
0, {– 1,0}, U] удовлетворяет тождеству x[t] = 0.
Вывод. В этом вопросы мы ввели базовые понятия стратегии и движения
необходимые для описания дифференциальных игр.
3.2. Свойства движений
В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства движений x[t, t
0
, x
0
, U] и
x[t, t
0
, x
0
, V], определенных в предыдущем параграфе. Обсудим свойства
движений x[t, t
0
, x
0
, U]. Аналогичные свойства движений x[t, t
0
, x
0
, V]
получаются простой заменой буквы U на букву V. Зафиксируем начальную
позицию {t
0
, x
0
} и остановимся на какой-то стратегии U.
Тогда можно построить пучок всех возможных движений x[t, t
0
, x
0
, U] (t
0
≤ t
< ∞), которые получаются как пределы при переборе всех возможных
сходящихся последовательностей {x
∆(k)
[t]} ломаных Эйлера x
∆(k)
[t, t
0
, х
(k)
, U,
v
(k)
[•]], причем перебор всевозможных реализаций v
(k)
[•] = {v
(k)
[t], t
0
≤ t < ∞}
отражает всевозможные действия противника.
Таким образом, множество всех движений x[t, t
0
, x
0
, U] при данных {t
0
, x
0
}
и U отражает в нашей формализации всевозможные реализации x[t] процесса,
отвечающие всем возможным действиям противника, стесненным только
условием и v ∈ Q.
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть G – некоторая ограниченная область, a пространстве {t, x}
и зафиксировано число ϑ.
Тогда множество всех движений x[t, t
0
, x
0
, U], отвечающих всем
возможным стратегиям U и начальным позициям {t
0
, x
0
} ∈ G, t
0
≤ ϑ, образует
совокупность равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных
функций x [t].

Страницы