Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52
Лемма 1 доказывается при условии (3.4.) стандартными в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений рассуждениями. Поэтому
доказательство ее мы здесь опустим.
Под расстоянием р(x[ • ], у[ • ])
[t0,ϑ]
, между двумя непрерывными вектор-
функциями x[t] и y[t], определенными на отрезке [t
0
, ϑ], будем понимать их
расстояние в метрике пространства C
[t0,ϑ]
, т- е- величину
р(x[ • ], у[ • ])
[t0,ϑ]
= ||][][||max
0
t
tytx
t
−
≤≤
ϑ
(3.11.)
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. На всяком отрезке [t
0
, ϑ] пучок всех движений x[t, t
0
, x
0
, U] при
всяком выборе {t
0
, x
0
} и U образует замкнутое множество в метрике
пространства C
[t0,ϑ]
.
Из лемм 1 и 2 вытекает, что пучок всех движений: x[t, t
0
, x
0
, U] (t
0
≤ t < ϑ)
образует в пространстве C
[t0,ϑ]
компактное в себе множество, т.е. из любой
последовательности движений из этого пучка можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся на отрезке [t
0
, ϑ] равномерно к движению
x[t] из того же пучка.
Следуя общепринятой терминологии, будем говорить, что некоторая
функция χ = χ(z) параметра z, значения которой суть множества χ(z) = {p}
z
,
состоящие из элементов р метрического пространства P, полунепрерывна
сверху по включению в точке z = z* (в метрике P), если для всякой
последовательности {z
(k)
}, сходящейся в метрике пространства {z} к точке z*, и
любой сходящейся в метрике P последовательности
р
(k)
∈ {p}
z(k)
(k =1,2, ...)
предельная точка р* = lim p(k) при k → ∞ будет удовлетворять условию p* ∈
{p}
z*
(Для краткости будем именовать в таких ситуациях полунепрерывными
сами множества χ.
Если, помимо интересующего нас аргумента (здесь z), множества χ будут
зависеть от других параметров, то там, где это потребуется, будем указывать,
относительно какого аргумента имеет место полунепрерывность).
Обозначим пучок всех движений x[t, t
0
, x
0
, U] (t
0
≤ t ≤ ϑ), отвечающих
выбранной стратегии U и некоторой начальной позиции {t
0
, x
0
}, символом χ(х
0
),
так как будем менять далее только параметр х
0
. Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. При всяком выборе t
0
, ϑ ≥ t
0
и U пучки χ(х
0
) полунепрерывны
сверху по включению в каждой точке x
0
= х* (относительно параметра х
0
и в
метрике C
[t0,ϑ]
. При этом для любого ε > О можно указать δ > 0, такое, что при
условии
|| x
0
– x*|| ≤ δ (3.12.)

Страницы