Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

54
при δ1 ≤ δ2. Далее мы можем построить множества
F
v
(t, x, U) ⊂
Ι
0>δ
F
v
(δ)
(t, x, U), (3.17.)
являющиеся, стало быть, пересечениями множеств F
v
(δ)
(δ > 0). Из построения
множеств F
v
(δ)
вытекает, что множества F
v
(t, x, U) ограничены, выпуклы,
замкнуты и содержат в себе выпуклую оболочку множества всех векторов f=f(t,
x, u(t, x), v), v ∈ Q. Более того, можно проверить, что множества F
v
(t, x, U),
отвечающие одной и той же стратегии U ÷ u(t,x), оказываются
полунепрерывными сверху по включению (см. выше) в каждой позиции {t, х}
(относительно позиции {t, x} и в евклидовой метрике пространства {f}.
Именно, какой бы ни была стратегия U и какой бы ни была позиция {t*, x*},
для всякого ε > 0 можно указать δ>0 такое, что при выполнении условия (3.15.)
множество F
v
(t, x, U) будет содержаться в евклидовой ε-окрестности множества
F
v
(t*, x*, U).
Теперь мы можем рассмотреть дифференциальное уравнение в
контингенциях
x’ = F
v
(t, x, U) (3.18.)
Напомним, что решением x(t) = x(t, t
0
, x
0
, U) дифференциального уравнения
в контингенциях (3.18.) называется всякая абсолютно непрерывная функция
x(t), которая удовлетворяет начальному условию x(t
0
) = x
0
и производная
которой при почти всех значениях t > t
0
удовлетворяет вложению
x’(t) = F
v
(t, x(t), U) (3.19.)
Так как наши множества F
v
(t, x, U) при всяком выборе стратегии U во
всякой возможной позиции {t, x} ограничены, выпуклы и замкнуты, при
изменении позиции меняются полунепрерывно сверху по включению и, кроме
того, согласно (3.4.) удовлетворяют условию
|| f || ≤ x (1 + || х || ) при f ∈ F
v
(t, x, U), (3.20.)
то, согласно известным результатам из теории дифференциальных уравнений,
уравнение (3.18.) при всяком выборе стратегии U и начальной позиции {t
0
, x
0
}
имеет решения x(t, t
0
, x
0
, U) (t ≥ t
0
), продолжимые для всех значений t ≥ t
0
. Эти
решения x(t, t
0
, x
0
, U) мы и будем называть идеальными обобщенными
движениями x(t) системы (3.1.).
Аналогичным образом с переменой ролями букв u и v определяются
идеальные обобщенные движения x(t) = x(t, t
0
, x
0
, V), которые являются
решениями дифференциального уравнения в контингенциях

Страницы