Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

58
inf
x[.]
ϕ (x[t, t
0
, x
0
, V
0
], t
0
≤ t ≤ τ)=max
U
inf
x[.]
ϕ (x(t, t
0
, x
0
, V), t
0
≤ t ≤ τ)=γ
0
(3.29.)
В левой и правой частях (3.29.) нижняя грань inf
x[.]
вычисляется по всем
тем движениям x[t], для которых время до момента окончания игры является
конечным.
Стратегию, разрешающую задачу 3.2., будем называть оптимальной
максиминной стратегией.
Совокупность двух задач 3.1. и 3.2. будем именовать игрой. Полезно
обратить внимание на следующее обстоятельство. Игра в нашей формализации
складывается из двух задач. При этом выбор образа действий игрока-
противника
в той или иной задаче, в соответствии с постановкой этой задачи и
благодаря лемме 2 из вопроса 1, оказывается никак не менее узким (а, вообще
говоря – даже более широким), чем выбор действий того же самого (по номеру)
игрока, когда в противоположной задаче из той же игры он оказывается уже в
роли игрока-союзника
.
В случае если величины γ° и γ
0
, фигурирующие в условиях (3.28.) и (3.29.),
совпадают, будем говорить, что игра имеет седловую точку {U°,V°}. Значение
γ° = γ
0
будем тогда именовать ценой игры.
Обратимся теперь к более общему, чем (3.1.), случаю функционала ϕ, т.е. к
случаю ϕ (x [t], u[t], v[t], t
0
≤ t ≤ τ), когда величина γ = ϕ зависит явно и от
реализаций управляющих воздействий u[t] и v[t]. Здесь нам придется
преодолеть одно неудобство, связанное с тем обстоятельством, что движения
x[t] были определены ранее только как пределы для ломаных Эйлера и эти
пределы не обязаны удовлетворять дифференциальному уравнению (3.1.) при
каких бы то ни было
допустимых функциях u[t] и v[t]. Однако от этого
неудобства можно избавиться следующим образом. Сопоставим стратегии U
(или V) предельное множество {γ}
U
или {γ}
V
, которое складывается из всех тех
значений γ, которые могут служить пределами для всевозможных
последовательностей
γ
(k)
= ϕ (x
∆(k)
[t], u
(k)
[t], v
(k)
[t], t
0
≤ t ≤ τ) (k = 1, 2, ...), (3.30.)
где x
∆(k)
[t] – ломаные Эйлера, определяющие движения x[t, t
0
, x
0
, U] (или x[t, t
0
,
x
0
, V]). При этом значение τ в (3.30.) определяется как момент встречи как раз
для того движения x[t], которое служит пределом для данной
последовательности x
∆(k)
[t]. Тогда условия (3.28.) и (3.29.) в задачах 3.1. и 3.2.
можно заменить соответственно условиями:
γ
=
γ
γ∈γγ∈γ
U
U
U
}{}{
supminsup
0
(3.31.)
γ
=
γ
γ∈γγ∈γ
V
V
U }{}{
infmininf
0
(3.32)
Во всем остальном формулировки задач 3.1. и 3.2. остаются без изменения.

Страницы