Квантовые эффекты в мезоскопических системах. Ч.I. Квантовое туннелирование с диссипацией. Жуковский В.Ч - 36 стр.

где qn ( t ) — нормированные собственные функции оператора d2A / dq 2 ,
                                                 d2A
                                                      qn = L nqn ,                               (1.2.51)
                                                 dq 2
с периодическими граничными условиями qn (1/ 2T ) = qn (- 1/ 2T ) . Одно
собственное значение Λ 0 — отрицательное. Контур интегрирования по C 0
необходимо сместить на мнимую ось, что приводит к появлению мнимой
части в статистической сумме.
        При T < T 0 функция q%( t ) отлична от const , и при произвольном
значении t 0 периодическая функция q%( t - t 0 ) (с периодом 1/ T ) также
является решением уравнения (1.2.49). Отсюда следует, что функция
¶ q%/ ¶ t удовлетворяет уравнению (1.2.51) с нулевым собственным значени-
ем. Для каждой функции q( t ) выберем t 0 такое, чтобы наилучшим обра-
зом приблизить q( t ) функцией q%( t - t 0 ) , т. е. определим t 0 из условия
минимума функционала [42]:
                       1/ 2T

         D (t ўq ) =                                    щ ¶D
                                                        2
                        т      dt й
                                  лq( t ) - q%( t - t ў)ы ; ¶ t ў          = 0.                  (1.2.52)
                       - 1/ 2T                                    t ў= t 0



     Величина Z 1 может быть записана в виде
                         1/ 2T

             Z 1 = Im     т       d t ўт Dq( t ) exp {- A [q ]}d( t ў- t 0 (q( t ))) =
                        - 1/ 2T

              1/ 2T                         ж¶ D (t ўq )ц
                                                        ч ¶ 2D (t ўq )
                                            зз          ч
      = Im т d t ўт Dq( t ) exp {- A [q ]}d з           ч
                                                        ч              .                         (1.2.53)
          - 1/ 2T
                                            з
                                            з
                                            и   ¶ t ў   ч
                                                        ш    ¶ t ў2



     Из (1.2.50), (1.2.52) следует, что
                                                     1/ 2
      ¶ D ( t ўq)        й1/ 2T         ж¶ q%ц  щ2
                                                   ¶ 2D (t ўq )     1/ 2T
                                                                                      ж¶ q%ц
                                                                                             2

                  = 2C 1 кк т d t             ч
                                       ззи¶ t ш
                                                ъ
                                              чъ ,
                                              ч                 = 2 т dt              зз ч
                                                                                            ч . (1.2.54)
                                                                                            ч
         ¶t ў             кл- 1/ 2T             ъ     ¶ t ў2
                                                                                       и¶ t ш
                                                ы                  - 1/ 2T




     Подставляя выражения (1.2.54) в (1.2.53), получим
                                          1/ 2
                   й1/ 2T          ж¶ q%ц
                                          2щ     1/ 2T          Ґ
                                                                     dC 0     м C 02    ь
             Z 1 = кк т d t       ззи¶ t ч
                                         ч
                                         ч
                                           ъ
                                           ъ         т      d t ўт        exp п
                                                                              н-     L0 п
                                                                                        э×
                   кл- 1/ 2T             шъ                           2p      п
                                                                              п
                                                                              о  2      п
                                                                                        п
                                                                                        ю
                                           ы     - 1/ 2T        0