Квантовые эффекты в мезоскопических системах. Ч.I. Квантовое туннелирование с диссипацией. Жуковский В.Ч - 42 стр.

мером могут служить фазы — жидкая или твердая. Соответственно, вводятся
                          r              v
переменные двух типов qI (x , t ) и qII (x , t ) , где qI относится к плотности
молекул в жидкости, а qII — к плотности в твердой фазе. Это позволяет, в
частности, математически описать рост кристалла с помощью эволюционных
уравнений.
      В других областях мезоскопический уровень не обязательно отождест-
влять с атомами и молекулами. Например, при математическом описании
клеточной ткани может оказаться достаточным [30] рассматривать клетки
как отдельные элементы на микроскопическом уровне, а их плотность (или
тип) — как подходящую переменную на мезоскопическом уровне. Во всех
                                                    r
случаях qi или вектор состояния q становятся функциями пространства и
              v            r                r         r r
времени: ( q1(x , t ), q2 (x , t ),..., qn (x , t ) = q (x , t ) ).

      Помимо временных изменений учитываются и пространственные (на-
пример,    в       случае         уравнения        диффузии     q&= D D q , где
     ur 2
D = С = ¶ 2 / ¶ x 2 + ¶ 2 / ¶ y 2 + ¶ 2 / ¶ z 2 — оператор Лапласа, D — коэффи-
циент диффузии).
      Перечисленные особенности приводят в итоге к нелинейному стохас-
тическому дифференциальному уравнению в частных производных общего
типа, решения которого могут носить и хаотический характер [30]. Анализу
решения подобных уравнений, сценариям перехода к хаотическим режимам
посвящено достаточно много работ [7, 8, 18–20, 25, 27, 28, 30, 34, 36, 37, 40],
и мы не предполагаем останавливаться на этом подробно.
      Для нас существенно, что неопределенности, обусловленные кванто-
выми флуктуациями, неизбежны. Это особенно важно в тех случаях, когда
микроскопические явления усиливаются настолько, что обретают макроско-
пические размеры: например, в случае «вторичных» квантовых эффектов в
системах с контактами Джозефсона, рассмотренных в предыдущих разделах.
(Установлено, в частности, что в биологии квантовые флуктуации могут вы-
звать мутации.)
      Известно [30], что и без квантовых флуктуаций, требующих специаль-
ного рассмотрения, поведение системы может быть в будущем не предска-
зуемо. Хотя уравнения, описывающие эволюцию системы во времени, впол-
не детерминистичны, система может эволюционировать по совершенно раз-
личным путям. Связано это с тем, что эволюция некоторых систем весьма
чувствительна к начальным условиям. Например, когда стальной шарик па-
дает на острие вертикально стоящего лезвия бритвы, дальнейшая траектория
шарика весьма сильно зависит от его положения относительно острия перед
тем, как он ударится о лезвие.