Квантовые эффекты в мезоскопических системах. Ч.I. Квантовое туннелирование с диссипацией. Жуковский В.Ч - 46 стр.

      Соударение двух шаров радиуса r можно свести к задаче об отраже-
нии точки от выпуклой поверхности радиуса 2r . На рис. 4,а представлены
две траектории, которые до соударения были отклонены друг от друга на ма-
лый угол da i . Видно, что после соударения угол da i + 1 становится сущест-
венно больше. Его легко выразить, используя закон упругого отражения и
элементарную геометрию:
                           da i + 1 = da i й1 + l / r cos b i щ,
                                           лк i               ъ
                                                              ы
где li — длина пробега между соударениями и b i — угол удара. Отсюда
видно, что при каждом соударении угол отклонения возрастает и после n -го
удара будет равен
                          n                                 йn                         щ
                           й
                           л
                                               щ
                                                                        (
             da n = da 0 Х к1 + li / r cos b i ъ= da 0 exp ке ln 1 + li / r cos b i
                                               ы                                      )ъъ.
                         i                                 лк i                        ы
     Число соударений n растет со временем » n t , где n — частота со-
ударений. Поэтому da (t ) можно представить в виде

                                  da (t ) = da (0) e l t .

     Здесь

                                        (
                                  l = 1 + li / r cos b i .   )
      Черта сверху означает усреднение по данной траектории. Величина l
является показателем Ляпунова [20, 33–36], она положительна, и, следова-
тельно, отражение от выпуклой поверхности неустойчиво.




                         a)                                        б)

                     Рис. 4. а — газ Лоренца, б — бильярд Синая.