Квантовые эффекты в мезоскопических системах. Ч.I. Квантовое туннелирование с диссипацией. Жуковский В.Ч - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

где
2
a
w удовлетворяют уравнению на собственные значения. Для вывода это-
го уравнения рассмотрим диагонализацию формы (1.4.8) при условии, что
координата туннелирования определяется соотношением (1.4.6), а остальные
координаты осцилляторов выбраны таким образом, чтобы отсутствовали
члены типа
i
y
y
a
(, 2iaі ), причем существуют члены взаимодействия ко-
ординаты
1
y
и координат
i
y
( 2i і ). Для этого диагонализируем квадра-
тичную форму
22
0
1
N
ii i
i
i
UU
a
aaa
wwd
ўў
=
=
е
, (1.4.10)
где
i
U
a
— элементы ортогональной матрицы. Домножим обе части этого
уравнения на
i
U
a
ў
и просуммируем по a
ў
от
2
до
N
с учетом условия
ортогональности матрицы преобразования
22
0
k
k
k
C
U
a
a
a
g
ww
=
-
, (1.4.11)
где
2
0
1
N
ii i
i
CU
a
a
wg
=
=
е
. (1.4.12)
Подставляя
k
U
a
из (1.4.11) в (1.4.12), получаем уравнение, определяющее
собственные значения
2
a
w :
22
0
22
1
0
1
N
ii
i
i
a
wg
ww
=
=
-
е
. (1.4.13)
Отсюда видно, что имеется одно собственное значение
2
1
0w =, которое
следует исключить из рассмотрения. При помощи (1.4.5) уравнение (1.4.13)
может быть преобразовано к виду
2
22
1
0
0
N
i
i
i
a
g
ww
=
=
-
е
. (1.4.14)
Определим теперь коэффициенты
C
a
из уравнения (1.4.12) и условия
ортогональности матрицы преобразования:
()
1/ 2
2
2
22
1
0
N
i
i
i
C
a
a
g
ww
-
=
йщ
къ
=
къ
-
къ
лы
е
. (1.4.15)
Отметим, что 
где wa 2 удовлетворяют уравнению на собственные значения. Для вывода это-
го уравнения рассмотрим диагонализацию формы (1.4.8) при условии, что
координата туннелирования определяется соотношением (1.4.6), а остальные
координаты осцилляторов выбраны таким образом, чтобы отсутствовали
члены типа y iy a ( i, a і 2 ), причем существуют члены взаимодействия ко-
ординаты y 1 и координат y i ( i і 2 ). Для этого диагонализируем квадра-
тичную форму
                                N

                              еi= 1
                                      w0i 2U a iU a ўi = wi 2da a ў ,            (1.4.10)

где U a i — элементы ортогональной матрицы. Домножим обе части этого
уравнения на U a ўi и просуммируем по a ў от 2 до N с учетом условия
ортогональности матрицы преобразования
                                                  gkC a
                              U ak =                       ,                     (1.4.11)
                                           w0k 2 - wa 2
где
                               N
                     Ca =     еi= 1
                                      w0i 2 giU a i .                            (1.4.12)

Подставляя U a k из (1.4.11) в (1.4.12), получаем уравнение, определяющее
собственные значения wa 2 :
                      N
                             w0i 2 gi 2
                     е
                     i= 1   w0i 2 - wa 2
                                         = 1.                                    (1.4.13)

Отсюда видно, что имеется одно собственное значение w12 = 0 , которое
следует исключить из рассмотрения. При помощи (1.4.5) уравнение (1.4.13)
может быть преобразовано к виду
                                            N
                                                       gi 2
                                          еi= 1   w0i 2 - wa 2
                                                               = 0.              (1.4.14)

     Определим теперь коэффициенты C a из уравнения (1.4.12) и условия
ортогональности матрицы преобразования:
                                                                    - 1/ 2
                                    йN            gi 2     щ
                                    к
                              C a = ке                     ъ                 .   (1.4.15)
                                                          2ъ
                                    кi = 1 (w0i 2 - wa 2 ) ъ
                                    л                      ы
Отметим, что

Страницы