Математика. Жулева Л.Д - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
ôÏÇÄÁ z = f(x, y) ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÄÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÔÏÞËÅ x
0
ÉÍÅÅÔ ÏÂÙÞÎÙÊ ÓÍÙÓÌ:
lim
–x→0
f(x
0
+ –x, y
0
) − f(x
0
, y
0
)
–x
= lim
–x→0
–
x
z
–x
,
ÇÄÅ –
x
z = f(x
0
+ –x, y
0
) − f(x
0
, y
0
) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ
ÆÕÎËÃÉÉ z = f(x, y). üÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ËÏÎÅÞÅÎ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÞÁÓÔÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ z = f(x, y) ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x × ÔÏÞËÅ (x
0
, y
0
) É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
f
0
x
(x
0
, y
0
) = z
0
x
(x
0
, y
0
) =
∂f(x
0
, y
0
)
∂x
.
÷ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ x ÉÍÅÅÔ, ×ÏÏÂÝÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Ô.Å. ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
f
0
x
(x, y), ÉÌÉ z
0
x
= (x, y), ÉÌÉ
∂f(x, y)
∂x
, ÉÌÉ
∂z
∂x
.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ÞÁÓÔÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ É ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y:
f
0
y
(x
0
, y
0
) = lim
–y→0
–
y
z
–y
.
óÐÏÓÏÂÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÎÁÈÏÖÄÅ-
ÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. îÕÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÐÏ-
ÍÎÉÔØ, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ x, ÔÏ y
ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÅ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ z = x
2
y
3
+4x
3
y
2
+5x−
− 4y + 1.
z
0
x
= 2xy
3
+ 12x
2
y
2
+ 5,
z
0
y
= 3x
2
y
2
+ 8x
3
y − 4
(ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ x ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ y ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ, Á ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ y ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ x).
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ z = (x
2
+ y
2
)e
xy
.
z
0
x
= (x
2
+ y
2
)
0
x
e
xy
+ (x
2
+ y
2
)(e
xy
)
0
x
=
= 2xe
xy
+ (x
2
+ y
2
)e
xy
y = (2x + x
2
y + y
3
)e
xy
,
z
0
y
= (x
2
+ y
2
)
0
y
e
xy
+ (x
2
+ y
2
)(e
xy
)
0
y
=
= 2ye
xy
+ (x
2
+ y
2
)e
xy
x = (2y + xy
2
+ x
3
)e
xy
.
6                                                             1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

   ôÏÇÄÁ z = f (x, y) ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÄÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÔÏÞËÅ x0 ÉÍÅÅÔ ÏÂÙÞÎÙÊ ÓÍÙÓÌ:
                        f (x0 + –x, y0) − f (x0, y0)              –x z
                        lim                             = lim          ,
                   –x→0                –x                   –x→0 –x

ÇÄÅ –x z = f (x0 + –x, y0) − f (x0, y0) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ
ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y). üÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ËÏÎÅÞÅÎ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÞÁÓÔÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x × ÔÏÞËÅ (x0, y0 ) É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
                                                     ∂f (x0, y0)
                       fx0 (x0, y0) = zx0 (x0, y0) =             .
                                                          ∂x
   ÷ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ x ÉÍÅÅÔ, ×ÏÏÂÝÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Ô.Å. ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
                                                      ∂f (x, y)          ∂z
          fx0 (x, y), ÉÌÉ zx0 = (x, y), ÉÌÉ                     , ÉÌÉ       .
                                                          ∂x             ∂x
   áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ÞÁÓÔÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ É ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y:
                                                     –y z
                                fy0 (x0, y0) = lim        .
                                               –y→0 –y
   óÐÏÓÏÂÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÎÁÈÏÖÄÅ-
ÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. îÕÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÐÏ-
ÍÎÉÔØ, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ x, ÔÏ y
ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ z = x2 y 3 + 4x3y 2 + 5x −
− 4y + 1.
                                    zx0 = 2xy 3 + 12x2y 2 + 5,
                                    zy0 = 3x2y 2 + 8x3y − 4
(ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ x ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ y ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ, Á ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ y ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ x).
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ z = (x2 + y 2 )exy .

    zx0 = (x2 + y 2 )0x exy + (x2 + y 2 )(exy )0x =
                                         = 2xexy + (x2 + y 2 )exy y = (2x + x2y + y 3 )exy ,
    zy0 = (x2 + y 2 )0y exy + (x2 + y 2 )(exy )0y =
                                         = 2yexy + (x2 + y 2 )exy x = (2y + xy 2 + x3)exy .

Страницы