Математика. Жулева Л.Д - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
òÅÛÅÎÉÅ.
z
0
x
=
∂z
∂x
= e
x
(x cos y − y sin y) + e
x
cos y = e
x
(x cos y − y sin y + cos y),
z
0
y
=
∂z
∂y
= e
x
(−x sin y − sin y − y cos y),
z
00
xx
=
∂
2
z
∂x
2
= e
x
(x cos y − y sin y + cos y) + e
x
cos y =
= e
x
(x cos y − y sin y + 2 cos y),
z
00
yy
=
∂
2
z
∂y
2
= e
x
(−x cos y − cos y − cos y + y sin y) =
= −e
x
(x cos y − y sin y + 2 cos y).
ïÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0.
ðÏÌÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ É ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÙÈ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ z = f(x, y), ÚÁÄÁÎÎÕÀ × ÎÅËÏÔÏ-
ÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. ðÕÓÔØ A(x, y) ¡ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. îÁÊÄÅÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÉÚ ÔÏÞËÉ A(x, y) × ÔÏÞËÕ B(x
1
, y
1
) ÔÏÊ ÖÅ ÏÂÌÁÓÔÉ.
òÁÚÎÏÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÁÈ B É A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÐÒÉÒÁÝÅ-
ÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ z = f(x, y) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ –z ÉÌÉ –f(x, y):
–z = f(B) − f(A) = f(x
1
, y
1
) − f(x, y).
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× x É y ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÉÚ ÔÏÞËÉ A ×
ÔÏÞËÕ B ÞÅÒÅÚ –x É –y:
–x = x
1
− x, –y = y
1
− y.
ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ f
0
x
(x, y), f
0
y
(x, y) × ÏËÒÅÓÔ-
ÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ A(x, y) É ÉÈ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ × ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÅ A, ÐÏÌÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅ-
ÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ:
–z = f
0
x
(x, y)–x + f
0
y
(x, y)–y + α–x + β–y,
ÇÄÅ α É β ¡ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ –x → 0 É –y → 0.
ìÉÎÅÊÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ –x É –y ÞÁÓÔØ ÐÏÌÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ (×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
f
0
x
(x, y)–x + f
0
y
(x, y)–y × ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ A(x, y) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ dz:
dz = f
0
x
(x, y)–x + f
0
y
(x, y)–y.
ðÒÉ ÍÁÌÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ –x É –y ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ dz ÄÁÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ËÌÁÄ ×
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ –z.
8                                                               1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

     òÅÛÅÎÉÅ.
          ∂z
    zx0 =     = ex (x cos y − y sin y) + ex cos y = ex (x cos y − y sin y + cos y),
          ∂x
          ∂z
    zy0 =     = ex (−x sin y − sin y − y cos y),
          ∂y
      00   ∂ 2z
    zxx = 2 = ex (x cos y − y sin y + cos y) + ex cos y =
           ∂x
                                                     = ex (x cos y − y sin y + 2 cos y),
     00    ∂ 2z
    zyy   = 2 = ex (−x cos y − cos y − cos y + y sin y) =
           ∂y
                                                = −ex (x cos y − y sin y + 2 cos y).
                                ∂2z       ∂2z
     ïÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ      ∂x2   +   ∂y 2   = 0.
  ðÏÌÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ É ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÙÈ
  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ z = f (x, y), ÚÁÄÁÎÎÕÀ × ÎÅËÏÔÏ-
ÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. ðÕÓÔØ A(x, y) ¡ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. îÁÊÄÅÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÉÚ ÔÏÞËÉ A(x, y) × ÔÏÞËÕ B(x1, y1) ÔÏÊ ÖÅ ÏÂÌÁÓÔÉ.
òÁÚÎÏÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÁÈ B É A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÐÒÉÒÁÝÅ-
ÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ –z ÉÌÉ –f (x, y):
                        –z = f (B) − f (A) = f (x1, y1) − f (x, y).
   ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× x É y ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÉÚ ÔÏÞËÉ A ×
ÔÏÞËÕ B ÞÅÒÅÚ –x É –y:
                              –x = x1 − x,              –y = y1 − y.
ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ fx0 (x, y), fy0 (x, y) × ÏËÒÅÓÔ-
ÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ A(x, y) É ÉÈ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ × ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÅ A, ÐÏÌÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅ-
ÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ:
                     –z = fx0 (x, y)–x + fy0 (x, y)–y + α–x + β–y,
ÇÄÅ α É β ¡ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ –x → 0 É –y → 0.
    ìÉÎÅÊÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ –x É –y ÞÁÓÔØ ÐÏÌÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ (×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
fx (x, y)–x + fy0 (x, y)–y × ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅ-
 0

ÒÅÎÃÉÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ A(x, y) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ dz:
                             dz = fx0 (x, y)–x + fy0 (x, y)–y.
ðÒÉ ÍÁÌÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ –x É –y ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ dz ÄÁÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ËÌÁÄ ×
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ –z.

Страницы