Математика. Жулева Л.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
òÅÛÅÎÉÅ. éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
0
= x ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
dy = x dx, y =
Z
x dx, y =
x
2
2
+ c
(ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ¥ÓÅÍÅÊÓÔ×Á¥).
éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ y(1) = 1 ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ 2 =
1
2
+ c, ÏÔËÕÄÁ c =
3
2
.
éÔÁË, y =
x
2
+3
2
.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÔÉÐÏ× ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉ-
ÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙ-
ÍÉ
åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ A(x, y) dx + B(x, y) dy = 0 ÐÏÓÌÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÚÁÐÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ:
M(x)N(y) dx + P (x)Q(y) dy = 0,
ÔÏ ÏÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. òÁÚÄÅÌÉ×
ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ P (x)N(y) É ÐÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×Á×,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ:
Z
M(x)
P (x)
dx +
Z
Q(y)
N(y)
dy = c.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ P (x)N(y) ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÉÚÏÊÔÉ ÐÏÔÅÒÑ ÎÅËÏ-
ÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÈ × ÎÕÌØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ P (x)N(y).
äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÞÅÓÔØ É ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÓÌÅÄÕÅÔ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å P (x)Q(y)
ÐÒÉÒÁ×ÎÑÔØ ÎÕÌÀ ËÁÖÄÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ É ÐÏÌÕÞÉÔØ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅ-
ÎÉÑ x É y. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÜÔÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ
ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
3e
x
tg y dx + (2 − e
x
) sec
2
y dy = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ sec x =
1
cos x
, cosec x =
1
sin x
. òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (2 − e
x
) tg y:
3e
x
2 − e
x
dx +
sec
2
y
tg y
dy = 0.
ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ:
−3
Z
d(2 − e
x
)
2 − e
x
+
Z
d(tg y)
tg y
= c
1
.
10                                                 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

     òÅÛÅÎÉÅ. éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y 0 = x ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
                                    Z
                                                x2
                   dy = x dx, y = x dx, y =        +c
                                                 2
                        (ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ¥ÓÅÍÅÊÓÔ×Á¥).
éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ y(1) = 1 ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ 2 = 21 + c, ÏÔËÕÄÁ c = 23 .
              2
  éÔÁË, y = x 2+3 .
  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÔÉÐÏ× ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉ-
ÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
  äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙ-
ÍÉ
  åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ A(x, y) dx + B(x, y) dy = 0 ÐÏÓÌÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÚÁÐÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ:
                      M(x)N(y) dx + P (x)Q(y) dy = 0,
ÔÏ ÏÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. òÁÚÄÅÌÉ×
ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ P (x)N(y) É ÐÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×Á×,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ:
                      Z            Z
                        M(x)         Q(y)
                              dx +        dy = c.
                        P (x)        N(y)
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ P (x)N (y) ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÉÚÏÊÔÉ ÐÏÔÅÒÑ ÎÅËÏ-
ÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÈ × ÎÕÌØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ P (x)N(y).
   äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÞÅÓÔØ É ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÓÌÅÄÕÅÔ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å P (x)Q(y)
ÐÒÉÒÁ×ÎÑÔØ ÎÕÌÀ ËÁÖÄÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ É ÐÏÌÕÞÉÔØ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅ-
ÎÉÑ x É y. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÜÔÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ
ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                     3ex tg y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0.
  òÅÛÅÎÉÅ. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ sec x = cos1 x , cosec x =      1
                                                       sin x .   òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (2 − ex ) tg y:
                            3ex       sec2 y
                                 dx +        dy = 0.
                          2 − ex       tg y
ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ:
                      Z               Z
                         d(2 − ex )     d(tg y)
                   −3               +           = c1 .
                          2 − ex         tg y

Страницы