Математика. Жулева Л.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ, ÇÄÅ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÇÏ ÅÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÙÈ.
ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÑ f(x, y) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ k, ÅÓ-
ÌÉ ÏÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ:
f(lx, ly) = l
k
f(x, y).
ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ u =
y
x
, ÇÄÅ u(x) ¡ ÎÏ×ÁÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÏÄ-
ÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÐÏ ÏÔÎÏ-
ÛÅÎÉÀ Ë ÆÕÎËÃÉÉ u.
üÔÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ y = ux, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ
y
0
= u
0
x + u ÉÌÉ dy = u dx + x du.
åÓÌÉ M(x, y) É N(x, y) ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÉÚÍÅÒÅ-
ÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É y, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0
ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
(x
2
− y
2
) dx + xy dy = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ M(x, y) = x
2
−y
2
É N(x, y) = xy ¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
×ÔÏÒÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, ÔÁË ËÁË
M(lx, ly) = l
2
x
2
− l
2
y
2
= l
2
(x
2
− y
2
) = l
2
M(x, y),
N(lx, ly) = lx · ly = l
2
N(x, y),
Á, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ.
÷×ÅÄÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ y = ux, ÏÔËÕÄÁ dy = u dx + x du. ôÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:
(x
2
− u
2
x
2
) dx + ux
2
(u dx + x du) = 0,
x
2
(1 − u
2
) dx + ux
2
(u dx + x du) = 0,
(1 − u
2
) dx + u(u dx + x du) = 0,
(1 − u
2
+ u
2
) dx + ux du = 0,
ÏÔÓÀÄÁ dx + ux du = 0.
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ
dx
x
+ u du = 0,
Z
dx
x
+
Z
u du = C ⇒ ln |x| +
u
2
2
= c.
12                                                        1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ, ÇÄÅ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÇÏ ÅÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÙÈ.
   ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ k, ÅÓ-
ÌÉ ÏÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ:

                              f (lx, ly) = lk f (x, y).

ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ u = xy , ÇÄÅ u(x) ¡ ÎÏ×ÁÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÏÄ-
ÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÐÏ ÏÔÎÏ-
ÛÅÎÉÀ Ë ÆÕÎËÃÉÉ u.
   üÔÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ y = ux, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ
y = u0 x + u ÉÌÉ dy = u dx + x du.
 0

   åÓÌÉ M(x, y) É N(x, y) ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÉÚÍÅÒÅ-
ÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É y, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0
ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
   ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:

                           (x2 − y 2 ) dx + xy dy = 0.

   òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ M (x, y) = x2 −y 2 É N(x, y) = xy ¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
×ÔÏÒÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, ÔÁË ËÁË

             M (lx, ly) = l2x2 − l2y 2 = l2(x2 − y 2 ) = l2M(x, y),
              N(lx, ly) = lx · ly = l 2N (x, y),

Á, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ.
   ÷×ÅÄÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ y = ux, ÏÔËÕÄÁ dy = u dx + x du. ôÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:

                   (x2 − u2x2) dx + ux2(u dx + x du) = 0,
                    x2(1 − u2) dx + ux2(u dx + x du) = 0,
                       (1 − u2) dx + u(u dx + x du) = 0,
                        (1 − u2 + u2) dx + ux du = 0,

ÏÔÓÀÄÁ dx + ux du = 0.
   òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ
                                   dx
                                      + u du = 0,
                   Z          Z    x
                       dx                             u2
                          +       u du = C ⇒ ln |x| +    = c.
                        x                             2

Страницы