Математика. Жулева Л.Д - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 11
ðÏÓÌÅ ÐÏÔÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÌÕÞÉÍ:
|tg y|
|2 − e
x
|
3
= e
c
1
,
tg y
(2 − e
x
)
3
= e
c
1
.
ïÔËÕÄÁ
tg y
(2−e
x
)
3
= ±e
c
1
. ïÂÏÚÎÁÞÁÑ ±e
c
1
= c, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
tg y
(2 − e
x
)
3
= c ⇒ tg y − c(2 − e
x
)
3
= 0.
íÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (2 −e
x
) tg y ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÎÅ ÏÂÒÁ-
ÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ.
ðÒÉÒÁ×ÎÑ× ËÁÖÄÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÎÕÌÀ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ:
y = kπ, (k = 0, ±1, ±2 . . .), x = ln 2.
îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ y =
= kπ É x = ln 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
yy
0
=
1 + 2x
y
.
òÅÛÅÎÉÅ. õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ y
0
=
dy
dx
, ÐÏÌÕÞÁÅÍ y
dy
dx
=
1+2x
y
.
õÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ y dx:
y
2
dy = (1 + 2x) dx.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÎÁÈÏÄÉÍ:
Z
y
2
dy =
Z
(1 + 2x) dx,
y
3
3
= x + x
2
+ c
1
,
ÏÔËÕÄÁ y
3
= 3x
2
+ 3x + 3c
1
.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ:
y =
3
p
3x
2
+ 3x + c, ÇÄÅ c = 3c
1
.
íÎÏÇÉÅ ×ÉÄÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó
ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ × ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅ ÉÈ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÉ É ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏ-
ÄÏ×, Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ Ë ×ÉÄÕ:
y
0
= f
y
x
,
1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                                           11

ðÏÓÌÅ ÐÏÔÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                            | tg y|                tg y
                                    3
                                      = ec1 ,            3
                                                           = e c1 .
                          |2 − e |x             (2 − e )
                                                       x

           tg y
ïÔËÕÄÁ   (2−ex )3   = ±ec1 . ïÂÏÚÎÁÞÁÑ ±ec1 = c, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
                         tg y
                               3
                                 = c ⇒ tg y − c(2 − ex )3 = 0.
                      (2 − e )
                             x

   íÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (2 − ex ) tg y ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÎÅ ÏÂÒÁ-
ÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ.
   ðÒÉÒÁ×ÎÑ× ËÁÖÄÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÎÕÌÀ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ:
                         y = kπ, (k = 0, ±1, ±2 . . .), x = ln 2.
îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ y =
= kπ É x = ln 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
  ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                    1 + 2x
                             yy 0 =        .
                                       y
                               dy
  òÅÛÅÎÉÅ. õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ y 0 = dx              dy
                                  , ÐÏÌÕÞÁÅÍ y dx = 1+2x
                                                      y .
  õÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ y dx:
                                   y 2 dy = (1 + 2x) dx.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÎÁÈÏÄÉÍ:
               Z       Z
                  2                                 y3
                 y dy = (1 + 2x) dx,                   = x + x 2 + c1 ,
                                                    3
ÏÔËÕÄÁ y 3 = 3x2 + 3x + 3c1 .
  ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ:
                         p3
                     y = 3x2 + 3x + c,             ÇÄÅ c = 3c1.
   íÎÏÇÉÅ ×ÉÄÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó
ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
   ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ × ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅ ÉÈ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÉ É ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏ-
ÄÏ×, Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
  ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
  äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ Ë ×ÉÄÕ:
                                  y
                            0
                           y =f       ,
                                   x

Страницы