Математика. Жулева Л.Д - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 13
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ
ÏÔ×ÅÔ:
ln |x| +
y
2
2x
2
= c.
ðÒÉÍÅÒ 5. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x dy = (x +y) dx É ÎÁÊÔÉ ÞÁÓÔ-
ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y = 2 ÐÒÉ x = −1.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÅÛÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ. ðÏÌÕ-
ÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ:
y
0
=
x + y
x
.
÷ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ, ÔÁË
ËÁË
f(lx, ly) =
lx + ly
lx
=
x + y
x
= f(x, y).
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ.
ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ y = ux. îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ y
0
= u
0
x + u, É ×
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÍÅÓÔÏ y É y
0
ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÉÈ ÎÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ:
u
0
x + u =
x + ux
x
, ÏÔÓÀÄÁ u
0
x = 1, du =
dx
x
;
u = ln |x| + c,
y
x
= ln |x| + c, y = x ln |x| + cx.
îÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. åÓÌÉ x =
= −1, y = 2, ÔÏ 2 = −ln 1 − c, ÏÔÓÀÄÁ c = −2.
y = x ln |x| − 2x.
ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ:
y
0
+ p(x)y = q(x), (1)
ÇÄÅ p(x) É q(x) ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊ-
ÎÙÍ.
îÁÐÒÉÍÅÒ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
0
= y + e
x
, xy
0
−y = 0 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑÍÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÁ-
ÎÏ×ÉÔØ ÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ, ÎÁÄÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y É y
0
× ÐÅÒ×ÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÔÏÄ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. óÕÝÎÏÓÔØ ÍÅÔÏ-
ÄÁ âÅÒÎÕÌÌÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) ÈÏÔÉÍ
ÐÏÌÕÞÉÔØ × ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ u(x) É v(x).
1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                                         13

÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ
ÏÔ×ÅÔ:
                                          y2
                                ln |x| + 2 = c.
                                         2x
   ðÒÉÍÅÒ 5. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x dy = (x + y) dx É ÎÁÊÔÉ ÞÁÓÔ-
ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y = 2 ÐÒÉ x = −1.
   òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÅÛÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ. ðÏÌÕ-
ÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ:
                                         x+y
                                   y0 =       .
                                           x
÷ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ, ÔÁË
ËÁË
                                 lx + ly     x+y
                   f (lx, ly) =          =       = f (x, y).
                                    lx        x
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ.
   ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ y = ux. îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ y 0 = u0x + u, É ×
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÍÅÓÔÏ y É y 0 ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÉÈ ÎÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
   ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ:
                         x + ux                              dx
              u0 x + u =         , ÏÔÓÀÄÁ u0 x = 1, du =        ;
                            x                                x
                               y
               u = ln |x| + c, = ln |x| + c, y = x ln |x| + cx.
                               x
îÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. åÓÌÉ x =
= −1, y = 2, ÔÏ 2 = − ln 1 − c, ÏÔÓÀÄÁ c = −2.
                             y = x ln |x| − 2x.

  ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
  õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ:
                     y 0 + p(x)y = q(x),                                (1)
ÇÄÅ p(x) É q(x) ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊ-
ÎÙÍ.
   îÁÐÒÉÍÅÒ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = y + ex , xy 0 − y = 0 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑÍÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
   åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÁ-
ÎÏ×ÉÔØ ÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ, ÎÁÄÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y É y 0 × ÐÅÒ×ÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ.
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÔÏÄ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. óÕÝÎÏÓÔØ ÍÅÔÏ-
ÄÁ âÅÒÎÕÌÌÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) ÈÏÔÉÍ
ÐÏÌÕÞÉÔØ × ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ u(x) É v(x).

Страницы