Математика. Жулева Л.Д - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 15
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ u:
du
u
= 3
dx
x
, ÏÔÓÀÄÁ
ln |u| = 3 ln |x| ÉÌÉ u = x
3
. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u = x
3
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3), ÐÏÌÕÞÉÍ:
2x
4
dv
dx
+ x
2
= 0,
dv = −
dx
2x
2
,
v =
1
2x
+ c.
ðÅÒÅÍÎÏÖÉ× u(x), v(x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y =
x
2
2
+ cx
3
.
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×, ÄÏÐÕÓËÁÀÝÉÅ
ÐÏÎÉÖÅÎÉÅ ÐÏÒÑÄËÁ
éÚ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÔÉÐÏ× ÔÁËÉÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÒÁÓÓÍÏ-
ÔÒÉÍ Ä×Á, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÐÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ.
I. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ñ×ÎÏ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
F (x, y
0
, y
00
) = 0.
ðÏÒÑÄÏË ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÐÏÎÉÚÉÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÕ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÉ y
0
= z(x), ÇÄÅ z(x) ¡ ÎÏ×ÁÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.
üÔÁ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ F (x, z, z
0
) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÍÉ ÒÁÎÅÅ ÍÅÔÏÄÁÍÉ.
ðÒÉÍÅÒ 7. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
y
00
+ y
0
tg x = sin 2x. (4)
òÅÛÅÎÉÅ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ F (x, y
0
, y
00
) = 0. ðÏÌÏÖÉ× y
0
= z(x),
y
00
= z
0
(x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p(x):
z
0
+ z tg x = sin 2x. (5)
òÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5) ÍÅÔÏÄÏÍ âÅÒÎÕÌÌÉ, Ô.Å., ÓÞÉÔÁÑ z = uv, z
0
= u
0
v + uv
0
,
ÐÏÌÕÞÉÍ u
0
v + uv
0
+ uv tg x = sin 2x
ÉÌÉ uv
0
+ u
dv
dx
+ v tg x
= sin 2x. (6)
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÎÕÌÀ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÅ, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ v, Ô.Å.
dv
dx
+ v tg x = 0 ÉÌÉ
Z
dv
v
=
Z
−
sin x
cos x
dx,
ÏÔÓÀÄÁ ln |y| = ln |cos x| ⇒ v(x) = cos x.
1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                                          15

éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ u: du               dx
                                                           u = 3 x , ÏÔÓÀÄÁ
ln |u| = 3 ln |x| ÉÌÉ u = x3. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u = x3 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3), ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                    dv
                                 2x4 + x2 = 0,
                                    dx
                                          dx
                                   dv = − 2 ,
                                          2x
                                        1
                                   v=     + c.
                                       2x
ðÅÒÅÍÎÏÖÉ× u(x), v(x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                       x2
                                  y=      + cx3.
                                       2
  äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×, ÄÏÐÕÓËÁÀÝÉÅ
ÐÏÎÉÖÅÎÉÅ ÐÏÒÑÄËÁ
  éÚ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÔÉÐÏ× ÔÁËÉÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÒÁÓÓÍÏ-
ÔÒÉÍ Ä×Á, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÐÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ.
  I. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ñ×ÎÏ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
                                F (x, y 0, y 00 ) = 0.
ðÏÒÑÄÏË ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÐÏÎÉÚÉÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÕ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÉ y 0 = z(x), ÇÄÅ z(x) ¡ ÎÏ×ÁÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.
   üÔÁ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ F (x, z, z 0) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÍÉ ÒÁÎÅÅ ÍÅÔÏÄÁÍÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 7. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                              y 00 + y 0 tg x = sin 2x.                  (4)
     òÅÛÅÎÉÅ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ F (x, y 0, y 00) = 0. ðÏÌÏÖÉ× y 0 = z(x),
y 00 = z 0 (x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p(x):
                                z 0 + z tg x = sin 2x.                   (5)
òÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5) ÍÅÔÏÄÏÍ âÅÒÎÕÌÌÉ, Ô.Å., ÓÞÉÔÁÑ z = uv, z = u v + uv 0,
                                                               0    0

ÐÏÌÕÞÉÍ u0 v + uv 0 + uv tg x = sin 2x
                                                   
                                0       dv
                        ÉÌÉ uv + u          + v tg x = sin 2x.           (6)
                                        dx
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÎÕÌÀ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÅ, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ v, Ô.Å.
                                Z        Z          
            dv                     dv          sin x
               + v tg x = 0 ÉÌÉ        =     −         dx,
            dx                      v          cos x
ÏÔÓÀÄÁ ln |y| = ln | cos x| ⇒ v(x) = cos x.

Страницы