Математика. Жулева Л.Д - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = cos x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6), ÐÏÌÕÞÉÍ:
du
dx
cos x = 2 sin x cos x, du = 2 sin x dx,
ÏÔËÕÄÁ u(x) = −2 cos x+c
1
, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z(x) = cos x(−2 cos x+c
1
), ÔÁË ËÁË
z(x) = y
0
, ÔÏ
dy
dx
= −2 cos
2
x + c
1
cos x. òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ,
ÐÏÌÕÞÉÍ:
dy = −2 cos
2
x dx + c
1
cos x dx,
y = −2
Z
cos
2
x dx +
Z
c
1
cos x dx + c
2
,
y = −2
Z
1 + cos 2x
2
dx + c
1
Z
cos x dx + c
2
,
y = −x −
sin 2x
2
+ c
1
sin x + c
2
.
üÔÏ É ÅÓÔØ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
II. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ñ×ÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
x:
F (y, y
0
, y
00
) = 0.
ðÏÒÑÄÏË ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÐÏÎÉÚÉÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÕ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÉ
y
0
= p(y), y
00
=
d(y
0
)
dx
=
dp
dx
=
dp
dy
·
dy
dx
=
dp
dy
· p = p
0
p,
ÔÏÇÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
F
y, p, p
dp
dy
= 0,
ÇÄÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ p(y), Á ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y.
ðÒÉÍÅÒ 8. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ yy
00
− y
02
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ F (x, y
0
, y
00
) = 0. ðÏÌÁÇÁÅÍ y
0
= p(y), ÔÏÇÄÁ
y
00
= p
dp
dy
. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:
yp
dp
dy
= p
2
(y), (∗)
ÒÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
dp
p
=
dy
y
, É, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ:
ln |p| = ln |y| + ln |c
1
|, ln |p| = ln |yc
1
|, ÏÔÓÀÄÁ p = c
1
y.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, y
0
= c
1
y ÉÌÉ
dy
dx
= c
1
y,
dy
y
= c
1
dx. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
ln |y| = c
1
x + ln |c
2
|,
ÉÌÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ y = c
2
e
c
1
x
.
16                                                             1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

   ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = cos x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6), ÐÏÌÕÞÉÍ:
                    du
                       cos x = 2 sin x cos x, du = 2 sin x dx,
                    dx
ÏÔËÕÄÁ u(x) = −2 cos x+c1 , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z(x) = cos x(−2 cos x+c1 ), ÔÁË ËÁË
                dy
z(x) = y 0 , ÔÏ dx = −2 cos2 x + c1 cos x. òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ,
ÐÏÌÕÞÉÍ:
                       dy = −2 cos2 x dx + c1 cos x dx,
                            Z                   Z
                   y = −2 cos2 x dx + c1 cos x dx + c2 ,
                        Z                            Z
                            1 + cos 2x
                y = −2                    dx + c1 cos x dx + c2 ,
                                2
                                     sin 2x
                       y = −x −               + c1 sin x + c2 .
                                        2
üÔÏ É ÅÓÔØ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   II. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ñ×ÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
x:
                                F (y, y 0 , y 00) = 0.
ðÏÒÑÄÏË ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÐÏÎÉÚÉÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÕ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÉ
             0           00   d(y 0 )     dp       dp dy      dp
            y = p(y), y =              =        =      ·  =      · p = p0p,
                               dx         dx dy dx dy
ÔÏÇÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
                                                
                                             dp
                              F y, p, p             = 0,
                                            dy
ÇÄÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ p(y), Á ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y.
     ðÒÉÍÅÒ 8. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ yy 00 − y 02 = 0.
     òÅÛÅÎÉÅ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ F (x, y 0, y 00 ) = 0. ðÏÌÁÇÁÅÍ y 0 = p(y), ÔÏÇÄÁ
         dp
y 00 = p dy . õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:
                                             dp
                                        yp      = p2(y),                              (∗)
                                             dy
                                        dp       dy
ÒÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ             p   =   y ,   É, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ:
          ln |p| = ln |y| + ln |c1 |,    ln |p| = ln |yc1 |,    ÏÔÓÀÄÁ p = c1 y.
                                  dy              dy
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, y 0 = c1 y ÉÌÉ     dx    = c1 y,    y   = c1 dx. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                                 ln |y| = c1 x + ln |c2 |,
ÉÌÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ y = c2 ec1 x .

Страницы