Математика. Жулева Л.Д - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÅÎÑÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ k, ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
k
2
− 7k + 12 = 0,
ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÏÒÎÉ k
1
= 3, k
2
= 4.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ:
y
o.o
= c
1
e
3x
+ c
2
e
4x
.
II. åÓÌÉ k
1
= k
2
= k ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁ×ÎÙÅ, ÔÏ y = e
kx
, y = xe
kx
.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
y
o.o
= c
1
e
kx
+ c
2
xe
kx
.
ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
00
−2y
0
+ y = 0, ÕÄÏ×ÌÅ-
Ô×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y|
x=0
= 4, y
0
|
x=0
= 2.
òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ k
2
− 2k + 1 = 0 ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ, ÒÁ×ÎÙÅ k
1
= k
2
= 1, ÐÏÜÔÏÍÕ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ:
y
1
= e
x
, y
2
= xe
x
,
Á ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = e
x
(c
1
+ c
2
x).
äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
y = e
x
(c
1
+ c
2
x), y
0
= e
x
(c
1
+ c
2
x + c
2
)
ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ. ðÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
4 = c
1
,
2 = c
1
+ c
2
,
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍ c
1
= 4, c
2
= −2. ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÏÂÝÅÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ:
y = e
x
(4 − 2x).
III. åÓÌÉ k
1
, k
2
ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÅ, Ô.Å.
k
1,2
= α ±iβ,
ÔÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÂÕÄÕÔ:
y
1
= e
αx
cos βx, y
2
= e
αx
sin βx.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
y
o.o
= c
1
e
αx
cos βx + c
2
e
αx
sin βx.
ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y
00
− 2y
0
+ 5y = 0.
18                                                         1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

  òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÅÎÑÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ k, ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                                 k 2 − 7k + 12 = 0,
ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÏÒÎÉ k1 = 3, k2 = 4.
   ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ:
                                yo.o = c1 e3x + c2 e4x .
  II. åÓÌÉ k1 = k2 = k ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁ×ÎÙÅ, ÔÏ y = ekx , y = xekx .
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                               yo.o = c1 ekx + c2 xekx .
   ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 00 − 2y 0 + y = 0, ÕÄÏ×ÌÅ-
Ô×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y|x=0 = 4, y 0 |x=0 = 2.
   òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ k 2 − 2k + 1 = 0 ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ, ÒÁ×ÎÙÅ k1 = k2 = 1, ÐÏÜÔÏÍÕ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ:
                               y1 = ex ,     y2 = xex ,
Á ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = ex (c1 + c2 x).
   äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
                    y = ex (c1 + c2 x),    y 0 = ex (c1 + c2 x + c2 )
ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ. ðÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
                            
                                4 = c1 ,
                              2 = c 1 + c2 ,
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍ c1 = 4, c2 = −2. ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÏÂÝÅÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ:
                            y = ex (4 − 2x).
     III. åÓÌÉ k1 , k2 ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÅ, Ô.Å.
                                   k1,2 = α ± iβ,
ÔÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÂÕÄÕÔ:
                        y1 = eαx cos βx,     y2 = eαx sin βx.
     ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                        yo.o = c1 eαx cos βx + c2 eαx sin βx.
     ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                y 00 − 2y 0 + 5y = 0.

Страницы