Математика. Жулева Л.Д - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
ôÁË ËÁË ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ:
y
1
= cos x, y
2
= sin x, y
0
1
= −sin x, y
0
2
= cos x,
ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ (12) ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ:
c
0
1
(x) cos x + c
0
2
(x) sin x = 0,
−c
0
1
(x) sin x + c
0
2
(x) cos x = tg
2
(x).
éÚ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ c
0
1
(x), c
0
2
(x):
c
0
1
(x) =
0 sin x
tg
2
x cos x
cos x sin x
−sin x cos x
=
−sin
3
x
cos
2
x
, c
0
2
(x) =
cos x 0
−sin x tg
2
x
cos x sin x
−sin x cos x
=
sin
2
x
cos x
.
c
1
(x) = −
Z
sin
3
x
cos
2
x
dx = −
Z
sin x(1 −cos
2
x) dx
cos
2
x
= −
1
cos x
− cos x + c
1
,
c
2
(x) =
Z
sin
2
x
cos x
dx =
Z
1 − cos
2
x
cos x
dx = ln
tg
x
2
+
π
4
− sin x + c
2
.
ðÏÄÓÔÁ×É× ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ c
1
(x), c
2
(x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎ-
ÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y =
−
1
cos x
− cos x + c
1
cos x +
h
−sin x + ln
tg
x
2
+
π
4
+ c
2
i
sin x,
y = −1 −cos
2
x + c
1
cos x −sin
2
x + sin x · ln
tg
x
2
+
π
4
+ c
2
sin x =
= −2 + c
1
cos x + c
2
sin x + sin x · ln
tg
x
2
+
π
4
.
ðÒÉÍÅÒ 13. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y
00
− y
0
=
1
1 + e
x
,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ:
y|
x=0
= 1, y
0
|
x=0
= 2.
òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ k
2
−k = 0 ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎ-
ÎÙÅ ÒÁÚÎÙÅ: k
1
= 0, k
2
= 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÅÓÔØ y = c
1
+ c
2
e
x
, ÇÄÅ y
1
= 1, y
2
= e
x
.
éÝÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ:
y = c
1
(x) + c
2
(x)e
x
.
20                                                             1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

     ôÁË ËÁË ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ:
                 y1 = cos x,    y2 = sin x,     y10 = − sin x,      y20 = cos x,
ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ (12) ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ:
                    0
                     c1 (x) cos x + c02 (x) sin x = 0,
                     −c01 (x) sin x + c02 (x) cos x = tg2 (x).
     éÚ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ c01 (x), c02 (x):
                    0 sin x                                  cos x      0
                    2
      0
                  tg x cos x        − sin x3
                                                  0
                                                            − sin x tg2 x        sin2 x
     c1 (x) =                     =           , c2 (x) =                      =         .
                  cos x sin x         cos2 x                 cos x sin x         cos x
                 − sin x cos x                              − sin x cos x
                  Z                 Z
                      sin3 x            sin x(1 − cos2 x) dx         1
      c1 (x) = −             dx = −                          =  −         − cos x + c1 ,
                      cos2 x                   cos2 x              cos x
                 Z               Z                         x π 
                    sin2 x          1 − cos2 x
        c2 (x) =            dx =                dx = ln tg      +       − sin x + c2 .
                     cos x             cos x                  2 4
   ðÏÄÓÔÁ×É× ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ c1 (x), c2 (x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎ-
ÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                     h                 x π        i
            1
   y= −         − cos x + c1 cos x + − sin x + ln tg         +   + c2 sin x,
          cos x                                            2 4
                                                       x π 
                2                  2
    y = −1 − cos x + c1 cos x − sin x + sin x · ln tg      +   + c2 sin x =
                                                         2   4
                                                         x π 
              = −2 + c1 cos x + c2 sin x + sin x · ln tg    +   .
                                                           2 4
   ðÒÉÍÅÒ 13. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                    1
                                     y 00 − y 0 =
                                         ,
                                  1 + ex
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ:
                                 y|x=0 = 1,         y 0 |x=0 = 2.
   òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ k 2 − k = 0 ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎ-
ÎÙÅ ÒÁÚÎÙÅ: k1 = 0, k2 = 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÅÓÔØ y = c1 + c2 ex , ÇÄÅ y1 = 1, y2 = ex .
   éÝÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ:
                                   y = c1 (x) + c2 (x)ex.

Страницы