Математика. Жулева Л.Д - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.3. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½4 21
äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ c
1
(x) É c
2
(x) ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ (12). ôÁË ËÁË ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ y
0
1
= 0, y
0
2
= e
x
, ÔÏ ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ:
c
0
1
(x) · 1 + c
0
2
(x)e
x
= 0
c
0
1
(x) · 0 + c
0
2
(x)e
x
=
1
1+e
x
, ÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ:
c
0
1
(x) = −
1
1 + e
x
, c
0
2
(x) =
1
e
x
(1 + e
x
)
;
c
1
(x) = −
Z
dx
1 + e
x
+ c
1
= −x + ln(1 + e
x
) + c
1
;
c
2
(x) =
Z
dx
e
x
(1 + e
x
)
+ c
2
= −e
−x
− x + ln(1 + e
x
) + c
2
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÂÕÄÅÔ:
y = −x + ln(1 + e
x
) + c
1
+ e
x
[−e
−x
− x + ln(1 + e
x
) + c
2
]
ÉÌÉ (ÐÏÓÌÅ ÕÐÒÏÝÅÎÉÑ)
y = −x + e
x
(c
2
− x) + (1 + e
x
) ln(1 + e
x
) + c
3
, ÇÄÅ c
3
= c
1
− 1.
äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ-
×ÉÑÍ, ÎÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ, ÔÏ ÅÓÔØ:
y
0
= −1 + e
x
[c
2
− x + ln(1 + e
x
)]
É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x = 0, y = 1, y
0
= 2 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y = −x + e
x
(c
2
− x) + (1 + e
x
) ln(1 + e
x
) + c
3
É
y
0
= −1 + e
x
[c
2
− x + ln(1 + e
x
)].
ðÏÌÕÞÉÍ
1 = c
2
+ c
3
+ 2 ln 2,
2 = −1 + c
2
+ ln 2.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, c
2
= 3 − ln 2, c
2
= −2 − ln 2.
éÓËÏÍÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ:
y = −x + e
x
(3 − ln 2 − x) + (1 + e
x
) ln(1 + e
x
) − 2 − ln 2.
1.3. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½4
æÕÎËÃÉÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
úÁÄÁÎÉÅ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
1.3. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½4                                                21

  äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ c1 (x) É c2 (x) ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ (12). ôÁË ËÁË ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ y10 = 0, y20 = ex , ÔÏ ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ:
                0
                   c1 (x) · 1 + c02 (x)ex = 0
                                               1     , ÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                   c01 (x) · 0 + c02 (x)ex = 1+e x

                                        1                    1
                        c01 (x) = −          , c02 (x) = x          ;
                                      1+e  x            e (1 + ex )
                                Z
                                      dx
                c1 (x) = −                 + c1 = −x + ln(1 + ex ) + c1 ;
                                  1+e    x
                       Z
                                dx
           c2 (x) =                      + c2 = −e−x − x + ln(1 + ex ) + c2 .
                            e (1 + e )
                             x        x

   óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÂÕÄÅÔ:
          y = −x + ln(1 + ex ) + c1 + ex [−e−x − x + ln(1 + ex ) + c2 ]
ÉÌÉ (ÐÏÓÌÅ ÕÐÒÏÝÅÎÉÑ)
       y = −x + ex (c2 − x) + (1 + ex ) ln(1 + ex ) + c3 ,      ÇÄÅ c3 = c1 − 1.
  äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ-
×ÉÑÍ, ÎÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ, ÔÏ ÅÓÔØ:
                        y 0 = −1 + ex [c2 − x + ln(1 + ex )]
É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x = 0, y = 1, y 0 = 2 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
               y = −x + ex (c2 − x) + (1 + ex ) ln(1 + ex ) + c3      É
                        y 0 = −1 + ex [c2 − x + ln(1 + ex )].
                                    
                                        1 = c2 + c3 + 2 ln 2,
                       ðÏÌÕÞÉÍ
                                        2 = −1 + c2 + ln 2.
  óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, c2 = 3 − ln 2, c2 = −2 − ln 2.
  éÓËÏÍÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ:
          y = −x + ex (3 − ln 2 − x) + (1 + ex ) ln(1 + ex ) − 2 − ln 2.


1.3. ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ½4

  æÕÎËÃÉÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
  úÁÄÁÎÉÅ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ

Страницы