Математика. Жулева Л.Д - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 19
òÅÛÅÎÉÅ. óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: k
2
+ 2k + 5 = 0.
ïÎÏ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ k
1
= −1 + 2i, k
2
= −1 −2i, ÐÏÜÔÏÍÕ α = −1, β = 2; ÉÓËÏÍÏÅ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y
o.o.
= c
1
e
−x
cos 2x + c
2
e
−x
sin 2x.
îÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
úÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7) Ó×ÏÄÉÔÓÑ ××ÉÄÕ ÕÓÌÏ-
×ÉÑ (8) Ë ÏÔÙÓËÁÎÉÀ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y
Þ.Î.
ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
äÌÑ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÉÄÁ ÐÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÅÊ f(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7), ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÑ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÍÅÔÏÄÁ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
ïÄÎÁËÏ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÕ-
ÝÅÓÔ×ÌÅÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ (ÍÅÔÏÄ ìÁÇÒÁÎÖÁ).
ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÎÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÈ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄ-
ËÁ ×ÉÄÁ:
a
0
y
00
+ a
1
y
0
+ a
2
y = f(x). (11)
óÕÝÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
a
0
y
00
+ a
1
y
0
+ a
2
y = 0
ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y = c
1
y
1
+ c
2
y
2
,
ÇÄÅ c
1
É c
2
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ x.
ðÏÄÂÉÒÁÀÔ ÉÈ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
y = c
1
(x)y
1
+ c
2
(x)y
2
ÂÙÌÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11). îÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ c
1
(x) É c
2
(x) ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
c
0
1
(x)y
1
+ c
0
2
(x)y
2
= 0,
c
0
1
(x)y
0
1
+ c
0
2
(x)y
0
2
=
f(x)
a
0
.
(12)
ðÒÉÍÅÒ 12. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y
00
+ y = tg
2
x.
òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ k
2
+ 1 = 0 ËÏÍÐÌÅËÓ-
ÎÙÅ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÅ: k
1,2
= ±i, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÅÓÔØ:
y = c
1
cos x + c
2
sin x.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ:
y = c
1
(x) cos x + c
2
(x) sin x.
1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                                        19

  òÅÛÅÎÉÅ. óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: k 2 + 2k + 5 = 0.
ïÎÏ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ k1 = −1 + 2i, k2 = −1 − 2i, ÐÏÜÔÏÍÕ α = −1, β = 2; ÉÓËÏÍÏÅ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
                    yo.o. = c1 e−x cos 2x + c2 e−x sin 2x.
   îÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
   úÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7) Ó×ÏÄÉÔÓÑ ××ÉÄÕ ÕÓÌÏ-
×ÉÑ (8) Ë ÏÔÙÓËÁÎÉÀ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ yÞ.Î. ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   äÌÑ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÉÄÁ ÐÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÅÊ f (x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7), ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÑ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÍÅÔÏÄÁ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
   ïÄÎÁËÏ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÕ-
ÝÅÓÔ×ÌÅÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ (ÍÅÔÏÄ ìÁÇÒÁÎÖÁ).
   ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÎÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÈ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄ-
ËÁ ×ÉÄÁ:
                        a0 y 00 + a1 y 0 + a2 y = f (x).            (11)
   óÕÝÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                          a0 y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0
ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
                               y = c1 y1 + c2 y2 ,
ÇÄÅ c1 É c2 ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ x.
   ðÏÄÂÉÒÁÀÔ ÉÈ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
                           y = c1 (x)y1 + c2 (x)y2
ÂÙÌÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11). îÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ c1 (x) É c2 (x) ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
                       0
                        c1 (x)y1 + c02 (x)y2 = 0,
                                                                     (12)
                        c01 (x)y10 + c02 (x)y20 = fa(x)
                                                     0
                                                        .
  ðÒÉÍÅÒ 12. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                               y 00 + y = tg2 x.
  òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ k 2 + 1 = 0 ËÏÍÐÌÅËÓ-
ÎÙÅ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÅ: k1,2 = ±i, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÅÓÔØ:
                        y = c1 cos x + c2 sin x.
  ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ:
                        y = c1 (x) cos x + c2 (x) sin x.

Страницы