Математика. Жулева Л.Д - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 17
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. òÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (∗), ÍÙ ÄÅÌÉÍ ÅÇÏ ÎÁ y É ÎÁ p, ÐÏÜÔÏÍÕ
ÍÏÇÌÉ ÐÏÔÅÒÑÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ y = 0 É p(x) = 0, Ô.Å. y = 0, y = c. îÏ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ËÌÀÞÅÎÙ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = c
2
· e
c
1
x
, ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ c
1
É
c
2
ÍÏÇÕÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0.
ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÐÏ-
ÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y
00
+ p
1
y
0
+ p
2
y = f(x) (7)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ×ÔÏ-
ÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÇÄÅ p
1
, p
2
¡ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÒÉ f(x) = 0 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(7) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍÍÕ
ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ
ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, Ô.Å.
y
Ï.Î.
= y
Ï.Ï.
+ y
Þ.Î.
. (8)
ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
äÌÑ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, Á ÚÎÁÞÉÔ É ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄ-
ÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y
00
+ p
1
y
0
+ p
2
y = 0, (9)
ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÉÓËÁÔØ × ÆÏÒÍÅ y = e
kx
, ÇÄÅ k = const, ËÏÔÏ-
ÒÕÀ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ y É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (9), ÐÏ-
ÌÕÞÁÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
k
2
+ p
1
k + p
2
= 0. (10)
üÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÚÁÍÅÎÏÊ ×
ÎÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ k, ÐÒÉÞÅÍ
ÓÁÍÁ ÆÕÎËÃÉÑ y ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÃÅÊ.
÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÉÐÁ ËÏÒÎÅÊ k
1
É k
2
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÎÙÊ ×ÉÄ. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕ-
ÞÁÑ:
I. åÓÌÉ k
1
É k
2
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ, ÔÏ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÂÕÄÕÔ ÆÕÎËÃÉÉ y
1
= e
k
1
x
, y
2
= e
k
2
x
.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y
o.o
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
y
o.o
= c
1
e
k
1
x
+ c
2
e
k
2
x
.
ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y
00
− 7y
0
+ 12y = 0.
1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                                         17

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. òÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (∗), ÍÙ ÄÅÌÉÍ ÅÇÏ ÎÁ y É ÎÁ p, ÐÏÜÔÏÍÕ
ÍÏÇÌÉ ÐÏÔÅÒÑÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ y = 0 É p(x) = 0, Ô.Å. y = 0, y = c. îÏ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ËÌÀÞÅÎÙ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = c2 · ec1 x , ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ c1 É
c2 ÍÏÇÕÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0.
   ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÐÏ-
ÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                            y 00 + p1 y 0 + p2y = f (x)                (7)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ×ÔÏ-
ÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÇÄÅ p1 , p2 ¡ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÒÉ f (x) = 0 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(7) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ.
   ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍÍÕ
ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ
ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, Ô.Å.
                             yÏ.Î. = yÏ.Ï. + yÞ.Î. .                    (8)
   ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
   äÌÑ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, Á ÚÎÁÞÉÔ É ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄ-
ÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                            y 00 + p1y 0 + p2y = 0,                     (9)
ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÉÓËÁÔØ × ÆÏÒÍÅ y = ekx , ÇÄÅ k = const, ËÏÔÏ-
ÒÕÀ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ.
   ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ y É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (9), ÐÏ-
ÌÕÞÁÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                            k 2 + p1k + p2 = 0.                        (10)
   üÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÚÁÍÅÎÏÊ ×
ÎÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ k, ÐÒÉÞÅÍ
ÓÁÍÁ ÆÕÎËÃÉÑ y ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÃÅÊ.
   ÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÉÐÁ ËÏÒÎÅÊ k1 É k2 ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÎÙÊ ×ÉÄ. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕ-
ÞÁÑ:
   I. åÓÌÉ k1 É k2 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ, ÔÏ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÂÕÄÕÔ ÆÕÎËÃÉÉ y1 = ek1 x , y2 = ek2 x .
   ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ yo.o ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (9) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                           yo.o = c1 ek1 x + c2 ek2 x .
  ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                            y 00 − 7y 0 + 12y = 0.

Страницы