Математика. Жулева Л.Д - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4
ïÄÎÕ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÐÏÄÂÅÒÅÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÍ
ÐÏÓÌÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÉ u ÉÌÉ v ÏÂÒÁÝÁÌÓÑ × ÎÕÌØ.
éÔÁË, ÅÓÌÉ y = uv, y
0
= u
0
v + uv
0
, ÔÏ, ÚÁÍÅÎÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (1) y É y
0
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
u
0
v + uv
0
+ uvp(x) = q(x), (2)
ÐÏÓÌÅ ÇÒÕÐÐÉÒÏ×ËÉ ÐÏÌÕÞÉÍ:
v[u
0
+ up(x)] + uv
0
= q(x),
ÆÕÎËÃÉÀ u ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
u
0
+ up(x) = 0,
du
dx
= −up(x).
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
du
u
= −p(x) dx.
ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ É ÎÁÈÏÄÉÍ u(x) = e
−
R
p(x) dx
(×ÙÂÉÒÁÅÍ ÐÒÏÓÔÅÊÛÅÅ
u(x) ÐÒÉ c = 0).
ðÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ u ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (2) ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:
e
−
R
p(x) dx
·
dv
dx
= q(x).
ïÔÓÀÄÁ, ÒÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
v =
Z
q(x)e
R
p(x) dx
dx + c.
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ u É v ÄÁÅÔ ÉÓËÏÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ 6.
2x
dy
dx
− 6y + x
2
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ. ðÏÌÁÇÁÅÍ y = uv, y
0
= u
0
v + uv
0
É
ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
ðÏÌÕÞÁÅÍ:
2x
v
du
dx
+ u
dv
dx
− 6uv + x
2
= 0
ÉÌÉ 2xu
dv
dx
+ v
2x
du
dx
− 6u
+ x
2
= 0. (3)
ôÅÐÅÒØ ÐÏÄÂÉÒÁÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ u ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ × ÓËÏÂËÁÈ ÂÙÌ ÒÁ×ÅÎ
ÎÕÌÀ, Ô.Å.
2x
du
dx
− 6u = 0.
14                                                  1. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½4

   ïÄÎÕ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÐÏÄÂÅÒÅÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÍ
ÐÏÓÌÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÉ u ÉÌÉ v ÏÂÒÁÝÁÌÓÑ × ÎÕÌØ.
   éÔÁË, ÅÓÌÉ y = uv, y 0 = u0 v + uv 0 , ÔÏ, ÚÁÍÅÎÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (1) y É y 0
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                         u0 v + uv 0 + uvp(x) = q(x),                     (2)
ÐÏÓÌÅ ÇÒÕÐÐÉÒÏ×ËÉ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                         v[u0 + up(x)] + uv 0 = q(x),
ÆÕÎËÃÉÀ u ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
                                             du
                       u0 + up(x) = 0,          = −up(x).
                                             dx
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ du
                              u = −p(x) dx.
                                          R
   ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ É ÎÁÈÏÄÉÍ u(x) = e− p(x) dx (×ÙÂÉÒÁÅÍ ÐÒÏÓÔÅÊÛÅÅ
u(x) ÐÒÉ c = 0).
   ðÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ u ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (2) ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:
                              R    dv
                             − p(x) dx
                            e         = q(x).
                                         ·
                                   dx
ïÔÓÀÄÁ, ÒÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                          Z      R
                       v = q(x)e p(x) dx dx + c.

ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ u É v ÄÁÅÔ ÉÓËÏÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 6.
                             dy
                          2x − 6y + x2 = 0.
                             dx
   òÅÛÅÎÉÅ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ. ðÏÌÁÇÁÅÍ y = uv, y 0 = u0v + uv 0 É
ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
   ðÏÌÕÞÁÅÍ:
                                  
                          du    dv
                    2x v + u         − 6uv + x2 = 0
                          dx    dx
                                           
                          dv         du
                 ÉÌÉ 2xu + v 2x − 6u + x2 = 0.                     (3)
                          dx         dx
ôÅÐÅÒØ ÐÏÄÂÉÒÁÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ u ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ × ÓËÏÂËÁÈ ÂÙÌ ÒÁ×ÅÎ
ÎÕÌÀ, Ô.Å.
                             du
                           2x − 6u = 0.
                             dx

Страницы