Математика. Жулева Л.Д - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 9
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÍÉ dx É dy ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É y ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÉÈ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ –x É –y, Ô.Å. dx = –x, dy = –y. ïÔËÕÄÁ,
dz = f
0
x
(x, y) dx + f
0
y
(x, y) dy.
1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ðÏÎÑÔÉÑ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ É Ï ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÉ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, ÉÓËÏÍÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
îÁÐÒÉÍÅÒ, y
0
= x, y
00
= e
x
, dy = x dx.
åÓÌÉ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÈÏÄÉÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ (×ÔÏ-
ÒÏÇÏ) ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÏ ÎÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ (×ÔÏÒÏÇÏ) ÐÏÒÑÄËÁ.
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ÏÂÝÉÊ ×ÉÄ:
F (x, y, y
0
) = 0, y
0
= f(x, y).
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ÏÂÝÉÊ
×ÉÄ:
F (x, y, y
0
, y
00
) = 0, y
00
= f(x, y, y
0
).
æÕÎËÃÉÑ, ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÅÇÏ × ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
òÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ,
ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ, ÔÏ ÅÓÔØ
y = ϕ(x, c
1
, c
2
, . . . , c
n
).
åÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÉÌÉ ×ÓÅÍ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÄÁÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÑ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
úÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ
ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ.
þÁÓÔÎÏÍÕ ÒÅÛÅÎÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, Á ÒÅÛÅÎÉÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍÕ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÏÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ¥ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï¥ ËÒÉ×ÙÈ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y
0
= x, ÐÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (1, 2).
1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                                       9

   äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÍÉ dx É dy ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É y ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÉÈ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ –x É –y, Ô.Å. dx = –x, dy = –y. ïÔËÕÄÁ,
                      dz = fx0 (x, y) dx + fy0 (x, y) dy.


1.2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

   ðÏÎÑÔÉÑ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ É Ï ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÉ
   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, ÉÓËÏÍÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
   îÁÐÒÉÍÅÒ, y 0 = x, y 00 = ex , dy = x dx.
   åÓÌÉ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÈÏÄÉÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ (×ÔÏ-
ÒÏÇÏ) ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÏ ÎÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ (×ÔÏÒÏÇÏ) ÐÏÒÑÄËÁ.
   äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ÏÂÝÉÊ ×ÉÄ:
                      F (x, y, y 0) = 0,    y 0 = f (x, y).
  ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ.
  áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ÏÂÝÉÊ
×ÉÄ:
                   F (x, y, y 0, y 00) = 0, y 00 = f (x, y, y 0).
   æÕÎËÃÉÑ, ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÅÇÏ × ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   òÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ,
ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ, ÔÏ ÅÓÔØ
                          y = ϕ(x, c1, c2, . . . , cn ).
   åÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÉÌÉ ×ÓÅÍ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÄÁÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÑ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   úÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ
ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ.
   þÁÓÔÎÏÍÕ ÒÅÛÅÎÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, Á ÒÅÛÅÎÉÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍÕ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÏÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ¥ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï¥ ËÒÉ×ÙÈ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y 0 = x, ÐÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (1, 2).

Страницы