Математика. Жулева Л.Д - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.1. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ 65
3. åÓÌÉ – = 0, ÔÏ ÄÌÑ ×ÙÑÓÎÅÎÉÑ ×ÏÐÒÏÓÁ Ï ÐÏ×ÅÄÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ
M
0
(x
0
, y
0
) ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
ðÒÉÍÅÒ 1. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ:
z =
x
2
4
+
y
2
4
.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ:
(
∂z
∂x
=
2x
4
=
x
2
,
∂z
∂y
=
2y
4
=
y
2
.
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ:
z
0
x
= 0,
z
0
y
= 0
⇒
x
2
= 0,
y
2
= 0
⇒
x = 0,
y = 0.
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ M
0
(0, 0).
÷ÙÞÉÓÌÉÍ A, B, C:
∂
2
z
∂x
2
= f
00
xx
(x) =
1
2
, A =
1
2
;
∂
2
z
∂y
2
= f
00
yy
(x) =
1
2
, C =
1
2
;
∂
2
z
∂x∂y
= 0, B = 0.
ïÔÓÀÄÁ – = AC − B
2
=
1
2
·
1
2
=
1
4
,
– > 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÅÓÔØ,
A > 0 ¡ × ÔÏÞËÅ M
0
(0, 0) ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ.
ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ:
z =
x
2
4
−
y
2
4
.
òÅÛÅÎÉÅ.
(
∂z
∂x
=
x
2
,
∂z
∂y
= −
y
2
⇒
x = 0,
y = 0.
3.1. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ                       65

   3. åÓÌÉ – = 0, ÔÏ ÄÌÑ ×ÙÑÓÎÅÎÉÑ ×ÏÐÒÏÓÁ Ï ÐÏ×ÅÄÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ
      M0 (x0, y0) ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÏ-
      ÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
  ðÒÉÍÅÒ 1. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ:
                                          x2 y 2
                                       z=   + .
                                          4  4
  òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ:
                        (
                          ∂z   2x    x
                          ∂x = 4 = 2 ,
                          ∂z
                          ∂y
                             = 2y
                                4
                                  = y2 .

éÓÐÏÌØÚÕÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ:
                    0           x
                     zx = 0,      2 = 0,    x = 0,
                      0      ⇒           ⇒
                     zy = 0       y
                                  2
                                    =0      y = 0.

åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ M0 (0, 0).
÷ÙÞÉÓÌÉÍ A, B, C:
                       ∂ 2z       00       1       1
                            =   f xx (x) =   , A =   ;
                       ∂x2                 2       2
                       ∂ 2z       00       1       1
                            =  f yy  (x) =   , C =   ;
                       ∂y 2                2       2
                             ∂ 2z
                                     = 0, B = 0.
                            ∂x∂y
                           1       1
  ïÔÓÀÄÁ – = AC − B 2 =    2   ·   2   = 14 ,

           – > 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÅÓÔØ,
           A > 0 ¡ × ÔÏÞËÅ M0 (0, 0) ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ.

  ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ:
                                            x2 y 2
                                       z=     − .
                                            4  4
  òÅÛÅÎÉÅ.
                         (
                               ∂z
                               ∂x      = x2 ,    x = 0,
                               ∂z            y ⇒ y = 0.
                               ∂y      = −2

Страницы