Математика. Жулева Л.Д - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

66 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
ëÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ M
0
(0, 0).
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ A, B, C:
∂
2
z
∂x
2
=
1
2
⇒ A =
1
2
;
∂
2
z
∂y
2
= −
1
2
⇒ C = −
1
2
;
∂
2
z
∂x∂y
= 0 ⇒ B = 0.
ïÔÓÀÄÁ – =
1
2
·
−
1
2
= −
1
4
;
– < 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÎÅÔ.
ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ:
z = x
4
+ y
2
.
òÅÛÅÎÉÅ.
∂z
∂x
= 4x
3
,
∂z
∂y
= 2y
(
∂z
∂x
= 0,
∂z
∂y
= 0
⇒
x = 0,
y = 0.
ëÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ M
0
(0, 0).
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ –:
∂
2
z
∂x
2
= 12x
2
, A = 0;
∂
2
z
∂y
2
= 2, C = 2;
∂
2
z
∂x∂y
= 0, B = 0;
– = 0.
îÁÛ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÎÅ ÄÁÅÔ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÜËÓÔÒÅÍÕÍÅ ÆÕÎËÃÉÉ. ôÒÅÂÕ-
ÀÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ.
õÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ
z = f(x, y). (1)
ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ x É y Ó×ÑÚÁÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
ϕ(x, y) = 0. (2)
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï ÕÓÌÏ×ÎÏÍ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÅ ÆÕÎËÃÉÉ (1) ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ
(2).
66                                                   3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6

ëÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ M0 (0, 0).
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ A, B, C:
                                ∂ 2z   1       1
                                     =   ⇒ A =   ;
                                ∂x2    2       2
                             ∂ 2z      1          1
                                 2
                                    =− ⇒C=− ;
                             ∂y        2          2
                                   2
                                ∂ z
                                      = 0 ⇒ B = 0.
                               ∂x∂y
                         
     ïÔÓÀÄÁ – = 21 · − 12 = − 14 ;
     – < 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÎÅÔ.
     ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ:
                                    z = x4 + y 2 .
     òÅÛÅÎÉÅ.                        (
                      ∂z
                      ∂x   = 4x3,        ∂z
                                         ∂x   = 0,   x = 0,
                                                   ⇒
                      ∂z
                      ∂y   = 2y          ∂z
                                         ∂y   =0     y = 0.
     ëÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ M0 (0, 0).
     ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ –:
                            ∂ 2z
                               2
                                  = 12x2, A = 0;
                            ∂x
                              ∂ 2z
                                   = 2, C = 2;
                              ∂y 2
                              ∂ 2z
                                    = 0, B = 0;
                             ∂x∂y
                                    – = 0.
  îÁÛ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÎÅ ÄÁÅÔ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÜËÓÔÒÅÍÕÍÅ ÆÕÎËÃÉÉ. ôÒÅÂÕ-
ÀÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ.
     õÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
     ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ
                                    z = f (x, y).                         (1)
     ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ x É y Ó×ÑÚÁÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
                                    ϕ(x, y) = 0.                          (2)
   ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï ÕÓÌÏ×ÎÏÍ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÅ ÆÕÎËÃÉÉ (1) ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ
(2).

Страницы