Математика. Жулева Л.Д - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

68 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
òÅÛÅÎÉÅ. óÏÓÔÁ×ÉÍ ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:
(x, y, λ) = x
2
+ y
2
− 10x − 16y + λ(5x + 2y − 1);
∂
∂x
= 0,
∂
∂y
= 0,
∂
∂λ
= 0
∂
∂x
= 2x − 10 + 5λ,
∂
∂y
= 2y − 16 + 2λ,
∂
∂λ
= 5x + 2y − 1.
ðÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
2x − 10 + 5λ = 0,
2y − 16 + 2λ = 0,
5x + 2y − 1 = 0.
éÚ ÐÅÒ×ÏÇÏ É ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÊÄÅÍ λ:
λ =
10 − 2x
5
; λ =
16 − 2y
2
É ÐÒÉÒÁ×ÎÑÅÍ ÉÈ:
10 − 2x
5
=
16 − 2y
2
,
20 − 4x = 80 − 10y.
ðÏÌÕÞÉÍ:
−2x + 5y = 30,
5x + 2y = 1.
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÐÏÌÕÞÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ:
x = −
55
29
, y =
152
29
, λ =
80
29
.
ðÏÌÕÞÉÌÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ M
0
−
55
29
;
152
29
.
éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ:
∂
2
∂x
2
= 2,
∂
2
∂y
2
= 2,
∂
2
∂x∂y
= 0.
A = 2, C = 2, B = 0.
– = 2 · 2 > 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÅÓÔØ.
A > 0 ¡ × ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÏÊ ÔÏÞËÅ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ.
68                                                    3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6

     òÅÛÅÎÉÅ. óÏÓÔÁ×ÉÍ ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:

              (x, y, λ) = x2 + y 2 − 10x − 16y + λ(5x + 2y − 1);
                     
                         ∂            ∂
                      ∂x = 0,
                                       ∂x = 2x − 10 + 5λ,
                         ∂            ∂
                         ∂y = 0,        ∂y = 2y − 16 + 2λ,
                     
                      ∂ = 0          ∂
                         ∂λ             ∂λ = 5x + 2y − 1.

     ðÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
                          
                           2x − 10 + 5λ = 0,
                             2y − 16 + 2λ = 0,
                          
                             5x + 2y − 1 = 0.
éÚ ÐÅÒ×ÏÇÏ É ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÊÄÅÍ λ:
                             10 − 2x                16 − 2y
                        λ=           ;        λ=
                                5                      2
É ÐÒÉÒÁ×ÎÑÅÍ ÉÈ:
                             10 − 2x 16 − 2y
                                     =         ,
                                5          2
                             20 − 4x = 80 − 10y.

ðÏÌÕÞÉÍ:
                              
                                  −2x + 5y = 30,
                                  5x + 2y = 1.
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÐÏÌÕÞÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ:
                              55            152          80
                       x=−       ,   y=         ,   λ=      .
                              29            29           29
                                                55 152
                                                       
     ðÏÌÕÞÉÌÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ M0 − 29 ; 29 .
     éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ:
                                2
                                ∂ 
                                ∂x2 2 = 2,
                               
                                 ∂ 
                                  ∂y 2
                                       = 2,
                               
                               
                                ∂  = 0.
                                    2

                                     ∂x∂y

     A = 2, C = 2, B = 0.
     – = 2 · 2 > 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÅÓÔØ.
     A > 0 ¡ × ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÏÊ ÔÏÞËÅ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ.

Страницы