Математика. Жулева Л.Д - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.1. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ 67
þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÔÁËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÕÖÎÏ ××ÅÓÔÉ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ×ÓÐÏÍÏÇÁ-
ÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:
(x, y, λ) = f(x, y) + λϕ(x, y). (3)
úÄÅÓØ λ ¡ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ìÁÇÒÁÎÖÁ É ÍÅÔÏÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ìÁÇÒÁÎÖÁ.
ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ (x, y, λ) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ, ÔÏ
ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ (1) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (2).
âÌÁÇÏÄÁÒÑ ××ÅÄÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ (x, y, λ), ÚÁÄÁÞÁ Ï ÕÓÌÏ×ÎÏÍ ÜËÓ-
ÔÒÅÍÕÍÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÚÁÄÁÞÅ ÎÁ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ (3), Ô.Å.
ÚÁÐÉÛÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ:
∂
∂x
= 0,
∂
∂y
= 0,
∂
∂λ
= 0.
(4)
òÅÛÁÑ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (4), ÎÁÊÄÅÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ É ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÎÏ-
ÖÉÔÅÌÑ λ.
äÁÌÅÅ ÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
(x, y, λ).
óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ – = AC −B
2
× ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ:
∂
2
∂x
2
= A,
∂
2
∂y
2
= C,
∂
2
∂x∂y
= B.
÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁËÁ – ÄÅÌÁÅÍ ×Ù×ÏÄ Ï ÎÁÌÉÞÉÉ ÉÌÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÜËÓ-
ÔÒÅÍÕÍÁ ÐÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ. 1. – > 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÅÓÔØ.
A > 0 ¡ min,
A < 0 ¡ max.
2. – < 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÎÅÔ.
3. – = 0 ¡ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ
z = x
2
+ y
2
− 10x − 16y
ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ 5x + 2y = 1.
3.1. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ                         67

   þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÔÁËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÕÖÎÏ ××ÅÓÔÉ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ×ÓÐÏÍÏÇÁ-
ÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:
                      (x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y).              (3)
   úÄÅÓØ λ ¡ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ìÁÇÒÁÎÖÁ É ÍÅÔÏÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ìÁÇÒÁÎÖÁ.
   ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ (x, y, λ) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ, ÔÏ
ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ (1) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (2).
âÌÁÇÏÄÁÒÑ ××ÅÄÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ (x, y, λ), ÚÁÄÁÞÁ Ï ÕÓÌÏ×ÎÏÍ ÜËÓ-
ÔÒÅÍÕÍÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÚÁÄÁÞÅ ÎÁ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ (3), Ô.Å.
ÚÁÐÉÛÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ:
                                
                                   ∂
                                 ∂x = 0,
                                
                                   ∂
                                   ∂y
                                      = 0,                           (4)
                                
                                 ∂ = 0.
                                   ∂λ

  òÅÛÁÑ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (4), ÎÁÊÄÅÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ É ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÎÏ-
ÖÉÔÅÌÑ λ.
  äÁÌÅÅ ÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
(x, y, λ).
  óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ – = AC − B 2 × ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ:
                                  ∂ 2
                                       = A,
                                  ∂x2
                                  ∂ 2
                                       = C,
                                  ∂y 2
                                 ∂ 2
                                       = B.
                                 ∂x∂y
  ÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁËÁ – ÄÅÌÁÅÍ ×Ù×ÏÄ Ï ÎÁÌÉÞÉÉ ÉÌÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÜËÓ-
ÔÒÅÍÕÍÁ ÐÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ. 1. – > 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÅÓÔØ.
                                A > 0 ¡ min,
                                A < 0 ¡ max.
  2. – < 0 ¡ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÎÅÔ.
  3. – = 0 ¡ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ.
  ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ
                         z = x2 + y 2 − 10x − 16y
ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ 5x + 2y = 1.

Страницы