Математика. Жулева Л.Д - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

78 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÏÞÅÎØ ÞÁ-
ÓÔÏ ÐÒÉÄÅÔÓÑ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÅÍ (ÐÌÁÎÏÍ) ÚÁÄÁÞÉ ÌÉ-
ÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÅËÔÏÒ X = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ
ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ É ÕÓÌÏ×ÉÀ x
j
> 0, (j = 1, 2, . . . , n).
ðÌÁÎ ÚÁÄÁÞÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍÁ (ÉÌÉ
ÍÁËÓÉÍÕÍÁ), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÍ.
ðÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÐÌÁÎÁÍÉ É ÓÏÄÅÒ-
ÖÉÔ m ×ÅËÔÏÒÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÐÏÒÑÄËÁ m.
éÓÈÏÄÎÙÍ ÐÌÁÎÏÍ ÚÁÄÁÞÉ × ÂÁÚÉÓÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× P
1
, P
2
, . . .,
P
m
ÂÕÄÅÔ ÐÌÁÎ ×ÉÄÁ X = (x
1
, x
2
, . . . , x
m
, 0, . . . , 0). åÓÌÉ ÄÌÑ ÐÌÁÎÁ X ×ÓÅ
x
j
> 0, (j = 1, . . . , m), ÔÁËÏÊ ÐÌÁÎ ÂÕÄÅÔ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ; ÅÓÌÉ ÖÅ ÏÄÉÎ ÉÌÉ
ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× x
i
= 0, ÐÌÁÎ ÂÕÄÅÔ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ.
òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÞÉÎÁÅÍ Ó ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ ÉÔÅÒÁÃÉÉ ÓÉÍÐÌÅËÓ ÐÒÏ-
ÃÅÓÓÁ, ÐÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉ× b
i
= x
i
, a
ij
= x
ij
.
÷ (m + 1)-Ê ÓÔÒÏËÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ z
0
É z
j
ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ:
z
0
=
m
X
i=1
c
i
x
i
, z
j
=
m
X
i=1
c
i
x
ij
(j = 1, 2, . . . , n).
ëÒÉÔÅÒÉÅÍ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÐÌÁÎÁ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ
(z
j
−c
j
) 6 0. åÓÌÉ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ, Ô.Å. ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ j
×ÙÐÏÌÎÅÎÏ (z
j
− c
j
) > 0, ÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÁÊÔÉ ÎÏ×ÙÊ ÐÌÁÎ, ËÏÔÏÒÙÊ ÌÕÞÛÅ (ÐÏ
ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÎÅ ÈÕÖÅ) ÐÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ.
âÁÚÉÓ ÎÏ×ÏÇÏ ÐÌÁÎÁ ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ: (m − 1) ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ
ÂÁÚÉÓÁ É ÎÏ×ÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ××ÏÄÉÍÙÊ × ÂÁÚÉÓ. þÔÏÂÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ
ÓÌÅÄÕÅÔ ××ÅÓÔÉ × ÂÁÚÉÓ, ÐÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ (m + 1)-À ÓÔÒÏËÕ. ÷ÅËÔÏÒ, ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÒÁÚÎÏÓÔÉ, max(z
j
− c
j
), ××ÏÄÉÔÓÑ ×
ÂÁÚÉÓ, ÐÒÉÞÅÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÂÅÒÅÔÓÑ ÐÏ ×ÓÅÍ ÉÎÄÅËÓÁÍ
ÒÁÚÎÏÓÔÉ j (j = 1, 2, . . . , n).
ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ max(z
j
− c
j
) = z
k
− c
k
> 0. ÷ÅËÔÏÒ
P
k
ÓÌÅÄÕÅÔ ××ÅÓÔÉ
× ÎÏ×ÙÊ ÂÁÚÉÓ. óÔÏÌÂÅÃ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ×ÅËÔÏÒÕ P
k
, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÛÁ-
ÀÝÉÍ.
îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÐÌÁÎ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÏ×ÎÏ m ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÙÈ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÏ×, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ ÎÕÖÎÏ ×Ù-
×ÅÓÔÉ ÉÚ ÂÁÚÉÓÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
x
i
ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÐÌÁÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ x
ik
ÒÁÚÒÅ-
ÛÁÀÝÅÇÏ ÓÔÏÌÂÃÁ, Ô.Å.
θ
0
= min
i
x
i
x
ik
, x
ik
> 0.
78                                                                   3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6

   ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÏÞÅÎØ ÞÁ-
ÓÔÏ ÐÒÉÄÅÔÓÑ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÅÍ (ÐÌÁÎÏÍ) ÚÁÄÁÞÉ ÌÉ-
ÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÅËÔÏÒ X = (x1, x2, . . . , xn), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ
ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ É ÕÓÌÏ×ÉÀ xj > 0, (j = 1, 2, . . . , n).
   ðÌÁÎ ÚÁÄÁÞÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍÁ (ÉÌÉ
ÍÁËÓÉÍÕÍÁ), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÍ.
   ðÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÐÌÁÎÁÍÉ É ÓÏÄÅÒ-
ÖÉÔ m ×ÅËÔÏÒÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÐÏÒÑÄËÁ m.
éÓÈÏÄÎÙÍ ÐÌÁÎÏÍ ÚÁÄÁÞÉ × ÂÁÚÉÓÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× P 1 , P 2 , . . .,
P m ÂÕÄÅÔ ÐÌÁÎ ×ÉÄÁ X = (x1, x2, . . . , xm, 0, . . . , 0). åÓÌÉ ÄÌÑ ÐÌÁÎÁ X ×ÓÅ
xj > 0, (j = 1, . . . , m), ÔÁËÏÊ ÐÌÁÎ ÂÕÄÅÔ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ; ÅÓÌÉ ÖÅ ÏÄÉÎ ÉÌÉ
ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× xi = 0, ÐÌÁÎ ÂÕÄÅÔ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ.
   òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÞÉÎÁÅÍ Ó ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ ÉÔÅÒÁÃÉÉ ÓÉÍÐÌÅËÓ ÐÒÏ-
ÃÅÓÓÁ, ÐÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉ× bi = xi, aij = xij .
   ÷ (m + 1)-Ê ÓÔÒÏËÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ z0 É zj ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ:
                     m
                     X                          m
                                                X
              z0 =         c i xi ,     zj =          ci xij       (j = 1, 2, . . . , n).
                     i=1                        i=1

    ëÒÉÔÅÒÉÅÍ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÐÌÁÎÁ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ
(zj − cj ) 6 0. åÓÌÉ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ, Ô.Å. ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ j
×ÙÐÏÌÎÅÎÏ (zj − cj ) > 0, ÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÁÊÔÉ ÎÏ×ÙÊ ÐÌÁÎ, ËÏÔÏÒÙÊ ÌÕÞÛÅ (ÐÏ
ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÎÅ ÈÕÖÅ) ÐÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ.
    âÁÚÉÓ ÎÏ×ÏÇÏ ÐÌÁÎÁ ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ: (m − 1) ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ
ÂÁÚÉÓÁ É ÎÏ×ÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ××ÏÄÉÍÙÊ × ÂÁÚÉÓ. þÔÏÂÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ
ÓÌÅÄÕÅÔ ××ÅÓÔÉ × ÂÁÚÉÓ, ÐÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ (m + 1)-À ÓÔÒÏËÕ. ÷ÅËÔÏÒ, ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÒÁÚÎÏÓÔÉ, max(zj − cj ), ××ÏÄÉÔÓÑ ×
ÂÁÚÉÓ, ÐÒÉÞÅÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÂÅÒÅÔÓÑ ÐÏ ×ÓÅÍ ÉÎÄÅËÓÁÍ
ÒÁÚÎÏÓÔÉ j (j = 1, 2, . . . , n).
    ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ max(zj − cj ) = zk − ck > 0. ÷ÅËÔÏÒ P k ÓÌÅÄÕÅÔ ××ÅÓÔÉ
× ÎÏ×ÙÊ ÂÁÚÉÓ. óÔÏÌÂÅÃ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ×ÅËÔÏÒÕ P k , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÛÁ-
ÀÝÉÍ.
    îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÐÌÁÎ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÏ×ÎÏ m ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÙÈ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÏ×, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ ÎÕÖÎÏ ×Ù-
×ÅÓÔÉ ÉÚ ÂÁÚÉÓÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
xi ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÐÌÁÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ xik ÒÁÚÒÅ-
ÛÁÀÝÅÇÏ ÓÔÏÌÂÃÁ, Ô.Å.
                                                 xi
                                      θ0 = min       ,         xik > 0.
                                            i    xik

Страницы