Математика. Жулева Л.Д - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

90 3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6
× óÅ×ÅÒÎÕÀ áÆÒÉËÕ É ÐÏÐÒÏÓÉÌÁ Õ ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÎÁÓÅÌÅÎÉÑ ÕÞÁÓÔÏË ÚÅÍÌÉ, ËÏÔÏ-
ÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÏÈ×ÁÔÉÔØ ÛËÕÒÏÊ ×ÏÌÁ. ðÏÌÕÞÉ× ÓÏÇÌÁÓÉÅ ÎÁ ÓÔÏÌØ ÎÉÞÔÏÖÎÕÀ
ÐÒÏÓØÂÕ, ÏÎÁ ÎÁ ÇÌÁÚÁÈ Õ ÉÚÕÍÌÅÎÎÙÈ ÚÒÉÔÅÌÅÊ ÒÁÚÒÅÚÁÌÁ ÛËÕÒÕ ÎÁ ÔÏÎËÉÅ
ÒÅÍÅÛËÉ É, Ó×ÑÚÁ× ÉÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÏÈ×ÁÔÉÌÁ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÌÅÎÔÏÊ ÉÚÒÑÄÎÙÊ
ÐÏ ÔÅÍ ×ÒÅÍÅÎÁÍ ÕÞÁÓÔÏË; ÒÁÚ×ÅÒÎÕ× ÎÁ ÎÅÍ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Ï, ÏÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÌÁ ÎÁ
ÜÔÏÍ ÕÞÁÓÔËÅ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ × ÄÒÅ×ÎÏÓÔÉ ÇÏÒÏÄ ëÁÒÆÁÇÅÎ.
õÖÅ ÁÎÔÉÞÎÙÅ ÕÞÅÎÙÅ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÉÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ÜÔÏÊ
ÌÅÇÅÎÄÙ: ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÅÎÔÁ ÕÖÅ Ó×ÑÚÁÎÁ, ËÁË ÔÏÇÄÁ ÎÁÄÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÉÔØ ÅÅ,
ÞÔÏÂÙ ÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÊ ÅÀ ÕÞÁÓÔÏË ÉÍÅÌ ÎÁÉÂÏÌØÛÕÀ ÐÌÏÝÁÄØ.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÍÁËÓÉÍÉÚÁÃÉÉ ÐÌÏÝÁÄÉ, Ô.Å. ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
S =
b
Z
a
y(x) dx
ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ÌÅÎÔÙ (ÇÒÁÎÉÃÙ ÕÞÁÓÔËÁ), Ô.Å. ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
l =
b
Z
a
p
1 + y
02
dx
É ÚÁÄÁÎÎÙÈ ËÒÁÅ×ÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ:
y(a) = a, y(b) = b.
äÒÕÇÁÑ ÚÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ×ÅÌÁ Ë ÚÁÒÏÖÄÅÎÉÀ ÍÅÔÏÄÏ× ×ÁÒÉ-
ÁÃÉÏÎÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÂÙÌÁ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÁ × 1696 Ç. é. âÅÒÎÕÌÌÉ É ÒÅÛÅÎÁ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ á. âÅÒÎÕÌÌÉ, ç. ìÅÊÂÎÉÃÅÍ, ç. ìÏÐÉÔÁÌÅÍ É é. îØÀ-
ÔÏÎÏÍ. ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ ÔÑÇÏÔÅÎÉÑ
ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ M ÓËÁÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÉÎÉÉ y = y(x) ÂÅÚ ÎÁ-
ÞÁÌØÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ É ÂÅÚ ÔÒÅÎÉÑ ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ A × ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ B ÚÁ
ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ T . óÐÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ×ÙÂÒÁÔØ ÐÕÔØ ÓËÁÔÙ×ÁÎÉÑ y = y(x)
(ÓËÁÖÅÍ, ËÁË ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÌÅÄÑÎÕÀ ÇÏÒËÕ, ÐÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÓËÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÁÎËÉ),
ÞÔÏÂÙ ×ÒÅÍÑ ÅÚÄÙ ÂÙÌÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ. ðÏÓÔÁ×ÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ.
îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÌÉÎÉÀ ÓËÁÔÙ×ÁÎÉÑ y = y(x), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÇÒÁÎÉÞ-
ÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ:
y(0) = h, y(b) = 0.
îÁÊÄÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÒÅÍÅÎÉ T , ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ.
÷ ÓÉÌÕ ÚÁËÏÎÁ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ:
gm(h − y) =
mv
2
2
, Ô.Å. v =
p
2g(h − y),
90                                                       3. ëÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ½6

× óÅ×ÅÒÎÕÀ áÆÒÉËÕ É ÐÏÐÒÏÓÉÌÁ Õ ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÎÁÓÅÌÅÎÉÑ ÕÞÁÓÔÏË ÚÅÍÌÉ, ËÏÔÏ-
ÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÏÈ×ÁÔÉÔØ ÛËÕÒÏÊ ×ÏÌÁ. ðÏÌÕÞÉ× ÓÏÇÌÁÓÉÅ ÎÁ ÓÔÏÌØ ÎÉÞÔÏÖÎÕÀ
ÐÒÏÓØÂÕ, ÏÎÁ ÎÁ ÇÌÁÚÁÈ Õ ÉÚÕÍÌÅÎÎÙÈ ÚÒÉÔÅÌÅÊ ÒÁÚÒÅÚÁÌÁ ÛËÕÒÕ ÎÁ ÔÏÎËÉÅ
ÒÅÍÅÛËÉ É, Ó×ÑÚÁ× ÉÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÏÈ×ÁÔÉÌÁ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÌÅÎÔÏÊ ÉÚÒÑÄÎÙÊ
ÐÏ ÔÅÍ ×ÒÅÍÅÎÁÍ ÕÞÁÓÔÏË; ÒÁÚ×ÅÒÎÕ× ÎÁ ÎÅÍ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Ï, ÏÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÌÁ ÎÁ
ÜÔÏÍ ÕÞÁÓÔËÅ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ × ÄÒÅ×ÎÏÓÔÉ ÇÏÒÏÄ ëÁÒÆÁÇÅÎ.
   õÖÅ ÁÎÔÉÞÎÙÅ ÕÞÅÎÙÅ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÉÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ÜÔÏÊ
ÌÅÇÅÎÄÙ: ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÅÎÔÁ ÕÖÅ Ó×ÑÚÁÎÁ, ËÁË ÔÏÇÄÁ ÎÁÄÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÉÔØ ÅÅ,
ÞÔÏÂÙ ÏÈ×ÁÞÅÎÎÙÊ ÅÀ ÕÞÁÓÔÏË ÉÍÅÌ ÎÁÉÂÏÌØÛÕÀ ÐÌÏÝÁÄØ.
   ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÍÁËÓÉÍÉÚÁÃÉÉ ÐÌÏÝÁÄÉ, Ô.Å. ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
                                       Zb
                               S=           y(x) dx
                                       a

ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ÌÅÎÔÙ (ÇÒÁÎÉÃÙ ÕÞÁÓÔËÁ), Ô.Å. ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
                                 Zb p
                              l=     1 + y 02 dx
                                 a

É ÚÁÄÁÎÎÙÈ ËÒÁÅ×ÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ:
                          y(a) = a,          y(b) = b.
äÒÕÇÁÑ ÚÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ×ÅÌÁ Ë ÚÁÒÏÖÄÅÎÉÀ ÍÅÔÏÄÏ× ×ÁÒÉ-
ÁÃÉÏÎÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÂÙÌÁ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÁ × 1696 Ç. é. âÅÒÎÕÌÌÉ É ÒÅÛÅÎÁ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ á. âÅÒÎÕÌÌÉ, ç. ìÅÊÂÎÉÃÅÍ, ç. ìÏÐÉÔÁÌÅÍ É é. îØÀ-
ÔÏÎÏÍ. ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ ÔÑÇÏÔÅÎÉÑ
ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ M ÓËÁÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÉÎÉÉ y = y(x) ÂÅÚ ÎÁ-
ÞÁÌØÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ É ÂÅÚ ÔÒÅÎÉÑ ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ A × ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ B ÚÁ
ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ T . óÐÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ×ÙÂÒÁÔØ ÐÕÔØ ÓËÁÔÙ×ÁÎÉÑ y = y(x)
(ÓËÁÖÅÍ, ËÁË ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÌÅÄÑÎÕÀ ÇÏÒËÕ, ÐÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÓËÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÁÎËÉ),
ÞÔÏÂÙ ×ÒÅÍÑ ÅÚÄÙ ÂÙÌÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ. ðÏÓÔÁ×ÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ.
îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÌÉÎÉÀ ÓËÁÔÙ×ÁÎÉÑ y = y(x), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÇÒÁÎÉÞ-
ÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ:
                          y(0) = h,          y(b) = 0.
îÁÊÄÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÒÅÍÅÎÉ T , ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ.
  ÷ ÓÉÌÕ ÚÁËÏÎÁ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ:
                              mv 2                    p
                gm(h − y) =        ,       Ô.Å. v =    2g(h − y),
                               2

Страницы