Математика. Жулева Л.Д - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ 91
ÏÔËÕÄÁ:
dx
dt
= v cos α =
p
2g(h − y)
p
1 + y
02
, Ô.Å.
dt =
s
1 + y
02
2g(h −y)
dx,
É ÐÏÜÔÏÍÕ:
T =
Z
dt =
b
Z
0
s
1 + y
02
2g(h − y)
dx.
ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÏÂÝÉÅ ÞÅÒÔÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ×ÓÅ
ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ¡ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÉÌÉ ÍÉÎÉÍÕÍ. ïÄÎÉÍ
ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÐÏÎÑÔÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÎÑÔÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ.
÷ ×ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÐÏÎÑÔÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ. ðÏ-
ÎÑÔÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÙÍ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÐÏÎÑÔÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÇÏ ËÁË ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÐÒÉÍÅÒÏÍ ÆÕÎË-
ÃÉÏÎÁÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕ-
ÌÕ:
y =
1
Z
0
y
2
(x) dx. (1)
åÓÌÉ ×ÍÅÓÔÏ y(x) ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÏ ÂÕÄÕÔ
ÐÏÌÕÞÁÔØÓÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ J. îÁÐÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÒÁ× y
1
= x
2
,
ÐÏÌÕÞÉÍ:
J =
1
Z
0
(x
2
)
2
dx =
1
Z
0
x
4
dx =
x
5
5
1
0
=
1
5
= 0, 2,
×ÙÂÒÁ× y = x
3
, ÐÏÌÕÞÉÍ J =
1
7
≈ 0, 143; ×ÙÂÒÁ× y = sin x, ÐÏÌÕÞÉÍ
J =
2 − sin 2
4
≈ 0, 273 É Ô.Ä.
3.3. ÷ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ                                                         91

ÏÔËÕÄÁ:
                                   p
                    dx               2g(h − y)
                       = v cos α = p            ,                        Ô.Å.
                    dt                 1 + y 02
                                s
                                   1 + y 02
                          dt =              dx,
                                  2g(h − y)

É ÐÏÜÔÏÍÕ:
                               Z              Zb s
                                                        1 + y 02
                         T =           dt =                      dx.
                                                       2g(h − y)
                                              0


   ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
   îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÏÂÝÉÅ ÞÅÒÔÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ×ÓÅ
ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ¡ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÉÌÉ ÍÉÎÉÍÕÍ. ïÄÎÉÍ
ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÐÏÎÑÔÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÎÑÔÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ.
÷ ×ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÐÏÎÑÔÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ. ðÏ-
ÎÑÔÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÙÍ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÐÏÎÑÔÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÇÏ ËÁË ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÐÒÉÍÅÒÏÍ ÆÕÎË-
ÃÉÏÎÁÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕ-
ÌÕ:
                                              Z1
                                       y=          y 2 (x) dx.                       (1)
                                              0

  åÓÌÉ ×ÍÅÓÔÏ y(x) ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÏ ÂÕÄÕÔ
ÐÏÌÕÞÁÔØÓÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ J. îÁÐÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÒÁ× y1 = x2,
ÐÏÌÕÞÉÍ:
                    Z1                    Z1                     1
                          2 2                      4     x5              1
               J=        (x ) dx =                x dx =             =     = 0, 2,
                                                         5       0       5
                    0                     0

                                   1
×ÙÂÒÁ× y = x3, ÐÏÌÕÞÉÍ J =         7   ≈ 0, 143; ×ÙÂÒÁ× y = sin x, ÐÏÌÕÞÉÍ

                                2 − sin 2
                         J=               ≈ 0, 273 É Ô.Ä.
                                   4

Страницы