Математические основы теории управления. Кац М.Д. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

51
В качестве иллюстрации рассмотрим метод нахождения экстрему-
ма функции нескольких переменных.
Пусть f(X) является скалярной функцией n переменных, где
12
,,
n
X x x x
. Требуется определить ее точки экстремума Х*.
Для этой цели определим вектор-градиент, составленный из частных
производных функции:
12
( ) , , ,
x
n
f f f
fX
x x x
.
Необходимым условием экстремума является равенство нулю
вектора-градиента функции
*
( ) 0
x
ix X
fX
, или в развернутом виде:
* * *
0 0 0
12
( ) ( ) ( )
| 0; | 0; | 0.
ix x ix x ix x
n
f X f X f X
x x x
Достаточное условие вытекает из знакоопределенности матрицы Гесса,
которая имеет вид:
22
1 1 1
2
2
22
1
( ) ( )
()
( ) ( )
n
n n n
f X f X
x x x x
fX
X
f X f X
x x x x
.
Достаточным условием минимума функции f(X) является положи-
тельная определенность матрицы Гесса. Это означает: все главные ми-
норы матрицы Гесса должны быть строго положительными.
Достаточным условием максимума функции f(X) является отрица-
тельная определенность матрицы Гесса. Это означает: четные главные
миноры матрицы Гесса должны быть положительными, а нечетные –
отрицательные.
Если условия положительной и отрицательной определенности не вы-
полняются, а все главные миноры отличны от нуля, то исследуемая
функция не имеет экстремума.
При обращении в ноль главных миноров матрицы Гесса вопрос о нали-
чии экстремума в исследуемой точке решается сложнее с вычислением
производных более высокого порядка.

Страницы