Математические основы теории управления. Кац М.Д. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

76
(1) (2) ( )
12
( ) ...
t t t
m
k k k
m
x t c h e c h e c h e
,
(2.8)
где
12
, , ,
m
c c c
– постоянные интегрирования, находящиеся из началь-
ных условий.
б) если для корня
k
кратности k имеется m линейно независимых
собственных векторов, причем m<k, то решение следует искать в
виде многочлена степени k-m, умноженного на
k
t
e
:
( ) ( ) ( )
12
( ) ( ) ; ( ) ( ) ;...; ( ) ( ) ,
t t t
m k m k m k
k k k
m
x t P t e x t Q t e x t S t e
где
( ) ( ) ( )
( ), ( ), , ( )
m k m k m k
P t Q t S t
– алгебраические полиномы с неиз-
вестными коэффициентами;
k
– кратный корень.
Для нахождения неизвестных коэффициентов полиномов
( ) ( ) ( )
( ), ( ), , ( )
m k m k m k
P t Q t S t
, следует выполнить подстановку выра-
жений (2.9) в исходную систему (2.4).
Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой час-
тях уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений
относительно искомых коэффициентов. Причем количество коэффици-
ентов, равное кратности корня
k
, являются произвольными, а осталь-
ные коэффициенты выражаются через них.
Среди корней характеристического уравнения имеются
комплексные корни. Для получения решения воспользуемся следую-
щими положениями.
Если коэффициенты системы (2.4) вещественные, то решение вы-
ражается только через вещественные функции. Вещественная и мнимая
часть комплексного решения, соответствующая корню
( 0)i
, являются линейно-независимыми решениями.
Для корня
i
частное решение системы имеет вид:
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
( ) ; ( ) ; ; ( ) .
i t i t i t
nn
x t h e x t h e x t h e
Пусть:
()
11 1
( ) Re ,
it
x t h e
()
21 1
( ) Im ,
it
x t h e
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
()
1
( ) Re ,
it
nn
x t h e
()
2
( ) Re .
it
nn
x t h e

Страницы