Составители:
Рубрика:
10
Для цилиндрической системы координат
∇
2
⊥
(ρ,ϕ) = ∂
2
/∂ρ
2
+ (1/ρ) (∂ /∂ρ) + (1/ρ
2
) (∂
2
/∂ϕ
2
). (12)
При выбранной ориентации обобщенно-цилиндрической системы
координат относительно линии передачи исходное волновое уравнение
для функции
Ω
(ξ,η,z) примет следующий вид:
∇
2
⊥
Ω
(ξ,η,z) + ∂
2
Ω
(ξ,η,z)/∂z
2
+ k
2
Ω
(ξ,η,z) = 0. (13)
Решение этого уравнения будем искать методом разделения пере-
менных (методом Фурье). В соответствии с идеей метода, искомую фун-
кцию
Ω
(ξ,η,z) представим в виде произведения двух функций, одна из
которых (Ψ(ξ,η)) зависит только от переменных ξ и η, а вторая (
.
Ζ
(z)) –
только от переменной z. В этом случае
Ω
(ξ,η,z) = Ψ(ξ,η)
.
Ζ
(z), (14)
и уравнение (13) приобретает следующий вид:
.
Ζ
(z) ∇
2
⊥
Ψ(ξ,η) + Ψ(ξ,η) (∂
2
.
Ζ
(z) / ∂z
2
) + k
2
Ψ(ξ,η)
.
Ζ
(z) = 0.
Поделив почленно обе части этого уравнения на произведение
Ψ(ξ,η)
.
Ζ
(z) и перейдя во втором члене от частного дифференциала к
полному (так как функция
.
Ζ
(z) зависит только от одной переменной),
получим
(1/ Ψ(ξ,η)) ∇
2
⊥
Ψ(ξ,η) + (1 /
.
Ζ
(z)) (d
2
.
Ζ
(z) / dz
2
) = –k
2
. (15)
В этом уравнении первый член зависит только от переменных ξ и η,
второй – только от переменой z, а их сумма равна постоянной величине
−
k
2
. Уравнение (15) должно быть справедливым при любом значении
переменной z. Очевидно, что это требование может быть удовлетворе-
но только в том случае, если и первый, и второй члены этого уравнения
порознь равны неким постоянным величинам. Обозначим эти постоян-
ные – æ
2
и – K
2
соответственно. Тогда уравнение (15) может быть пред-
ставлено в виде системы из трех уравнений:
d
2
.
Ζ
(z) / dz
2
+ K
2
.
Ζ
(z) = 0, (16)
∇
2
⊥
Ψ (ξ,η) + æ
2
Ψ (ξ,η) = 0, (17)
æ
2
+ K
2
= k
2
. (18)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
