Составители:
Рубрика:
18
При интегрировании уравнения (39) воспользуемся уже знакомым
нам методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения
двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной
пространственной переменой:
Ψ(x,y) = X(x) Y(y). (40)
Подставим (40) в (39) и выполним частное дифференцирование
Y(y) ∂
2
X(x)/∂x
2
+ X(x)∂
2
Y(y)/∂y
2
+ æ
2
X(x)Y(y) = 0. (41)
Перейдя в (41) от частных дифференциалов к обыкновенным и поде-
лив его почленно на произведение X(x) Y(y), имеем
(1/X(x)) d
2
X(x)/d x
2
+ (1/Y(y)) d
2
Y(y)/d y
2
= –æ
2
. (42)
Используя те же доводы, что и при анализе уравнения (15), прирав-
няем первый член уравнения (42) постоянному коэффициенту – k
x
2
,
а
второй – постоянному коэффициенту – k
y
2
, физический смысл которых
будет выяснен позднее. В этом случае уравнение (42) может быть пред-
ставлено в виде системы из трех более простых уравнений:
d
2
X(x)/d x
2
+ k
x
2
X(x)
= 0, (43)
d
2
Y(y)/d y
2
+ k
y
2
Y(y) = 0, (44)
k
x
2
+ k
y
2
= æ
2
. (45)
Уравнения (43) и (44) являются уже знакомыми нам обыкновенными
однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, ре-
шениями которых являются комбинации показательных либо тригоно-
метрических функций и постоянных коэффициентов (см. (16), (19), (20)).
Однако, в отличие от уравнения (16), когда по физическим соображе-
ниям мы выбрали для него решение (19), представляющее собой супер-
позицию бегущих волн, в данном случае следует выбрать решения, пред-
ставляющие собой стоячие волны, а решения в виде бегущих волн от-
Рис. 3. Система координат прямоугольного волновода
a
b
x
y
z
0
0
y
0
x
z
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
