Составители:
Рубрика:
33
E
ϕ
|
ρ= a
= 0. (67)
Для дальнейших вычислений нам потребуются также граничные ус-
ловия для продольной составляющей
H
z
или ее пространственных про-
изводных, которые следует вывести из условий (66), (67) и уравнений
связи (9). Воспользовавшись условием (67) и вторым уравнением из
системы уравнений связи (9), имеем:
∂
.
z
Η
/ ∂ρ |
ρ= a
= 0. (68)
Уравнение (17), записанное в цилиндрической системе координат
будет иметь следующий вид (см. выражение (12)):
∂
2
Ψ(ρ,ϕ)/∂ρ
2
+ (1/ρ) (∂Ψ (ρ,ϕ)/∂ρ) +
+(1/ρ
2
) (∂
2
Ψ (ρ,ϕ)/∂ϕ
2
) + æ
2
Ψ(ρ,ϕ) = 0. (69)
Решение уравнения (69) будем осуществлять методом Фурье. Пред-
ставим функцию
Ψ (ρ,ϕ), зависящую от двух переменных ρ и ϕ, в виде
произведения двух функций P(ρ) и Ф (ϕ), каждая из которых зависит
только от одной из этих переменных:
Ψ(ρ,ϕ) = P(ρ) Ф(ϕ)
.
(70)
Подставим (70) в (69) и после несложных преобразований получим
(ρ
2
/
P(ρ)) ∂
2
P(ρ)/∂ρ
2
+ (P(ρ)/ρ) (∂P(ρ)/∂ρ) + æ
2
ρ
2
=
=–(1/Ф(ϕ)) (∂
2
Ф(ϕ)/∂ϕ
2
). (71)
Левая и правая части этого уравнения зависят от разных перемен-
ных, поэтому оно может быть справедливо только в том случае, когда
обе его части равны одной и той же постоянной величине. Пусть этой
постоянной величиной будет некоторый коэффициент m
2
, физический
смысл которого мы определим позднее. В этом случае уравнение (71)
может быть представлено в виде системы из двух однородных диффе-
ренциальных уравнений:
∂
2
Ф(ϕ)/∂ϕ
2
+ m
2
Ф(ϕ) = 0, (72)
(ρ
2
/
P(ρ)) ∂
2
P(ρ)/∂ρ
2
+ (P(ρ)/ρ) (∂P(ρ)/∂ρ) + æ
2
ρ
2
– m
2
= 0. (73)
Уравнение (72) является уже хорошо нам знакомым однородным диф-
ференциальным уравнением второго порядка, решением которого мо-
гут быть показательные или тригонометрические функции (см. (19) и
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
