Исследование операций в экономике. Калашникова Т.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Иными словами, в седловой точке достигается максимальное зна-
чение функции Лагранжа по переменным группы x (исходным перемен-
ным задачи (1.1)) и минимальное значение по переменным группы λ.
Необходимые условия экстремума для функции Лагранжа в случае
дифференцируемости целевой функции и функций, определяющих огра-
ничения задачи, состоят в равенстве нулю всех ее частных производных.
Дифференцируя L(x, λ) по всем переменным, получим следующие соот-
ношения:
( )
( )
***
,0,
,
i
i
xеслиx
x
xL
=
∂
∂
λ
λ
>0
( )
( )
***
,0,
,
i
i
xеслиx
x
xL
≤
∂
∂
λ
λ
=0
( )
( )
***
,0,
,
j
j
еслиx
xL
λλ
λ
λ
=
∂
∂
>0
( )
( )
***
,0,
,
j
j
еслиx
xL
λλ
λ
λ
≥
∂
∂
=0
Для дальнейших целей данные соотношения удобнее представить
в виде условий дополняющей нежесткости:
ni
m
j
i
x
i
j
x
i
x
f
i
x ,...,1,0
1
*
,
**
==
∑
=
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
λλ
Если функция Лагранжа задачи (1.1) имеет седловую точку (x
*
, λ
*
)
при неотрицательных значениях x ≥ 0, λ ≥ 0, то вектор x является реше-
нием поставленной задачи оптимизации. Использование данного факта
для поиска оптимальных решений исходной задачи состоит в поиске
седловых точек функции Лагранжа и носит название метода множи-
телей Лагранжа.
Пример решения задачи. Гражданин Петров собирается разме-
стить денежные средства (в пределах 100 ден. ед.) в банк. Банк предла-
гает два вида срочных вкладов. Согласно первому варианту деньги мо-
гут быть размещены на год, и доход составит 20 % годовых. Второй ва-
риант предполагает, что деньги могут быть получены через два года и до-
ход по данному виду вкладов составляет 25 % годовых. Предпочтения гр.
Петрова описывает функция полезности
( )
xxu
n
ln
5
3
=
.
Требуется определить, как гр. Петров разместит деньги.
22

Страницы