Составители:
Рубрика:
97
ПРИМЕР 1. Исследовать на сходимость интеграл
2
42
0
1
x
dx
xx
+
∞
−+
∫
.
Подынтегральная функция положительна, а ее числитель и знаменатель –
многочлены, причем степень числителя на два меньше степени знаменателя.
Следовательно, сравнение удобно проводить с функцией 1
/(x
2
). Существует
предел:
24
42 2 42
1
lim : lim 1
11
xx
xx
xx x xx
→+∞ →+∞
=
=
−+ −+
.
Поскольку интеграл
2
1
dx
x
+
∞
∫
сходится (см. пример 1 из п. 3.1, p = 2 > 1), то в си-
лу теоремы 2 сходится и интеграл
2
42
1
1
x
dx
xx
+
∞
−
+
∫
. Поскольку на отрезке [0,1]
подынтегральная функция непрерывна, то интеграл
1
2
42
0
1
x
dx
xx
−
+
∫
сходится (он
уже не является несобственным). Таким образом, сходится и исходный инте-
грал
2
42
0
1
x
dx
xx
+∞
−+
∫
.
Напомним, что для функций одной переменной имеет место
Критерий Коши существования предела функции.
Предел )(lim x
x
ϕ
+∞→
существует и конечен тогда и только тогда, если
(
)
(
)
0()0:',"xx x x
ε
δδε δ
ϕϕ
ε
′′′
∀> ∃ = > ∀ > ⇒ − <
.
Аналогичный критерий справедлив и для несобственного интеграла с бес-
конечными пределами:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
