Составители:
Рубрика:
98
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
с бесконечными пределами интегрирования.
Для сходимости интеграла
∫
∞
+
a
dxxf )( необходимо и достаточно, чтобы
0()0:()
b
b
fxdx
ε
δδε ε
′
′
′
∀> ∃ = > <
∫
для ,bb
δ
′
′′
∀
> .
На основе критерия Коши может быть доказана еще одна важная теорема:
Теорема 3. Если сходится интеграл xdxf
a
∫
∞
+
)( , то интеграл
∫
∞+
a
dxxf )(
также сходится.
Доказательство. Если ,)( ∞<
∫
∞
+
a
dxxf то в силу критерия Коши
"
'
00:'," ()
b
b
bb fxdx
ε
δδ ε
∀> ∃> ∀ > ⇒ <
∫
.
Но по свойству определенного интеграла справедливо неравенство
""
''
() ()
bb
bb
f
xdx
f
xdx≤
∫∫
. Отсюда
ε
<
∫
"
'
)(
b
b
dxxf и по критерию Коши сходится
также несобственный интеграл
∫
∞
+
a
dxxf )( .
ПРИМЕР 2. Исследовать на сходимость интеграл
2
0
cos
100
x
x
dx
x
+
∞
+
∫
.
Подынтегральная функция
100
cos
)(
2
+
=
x
xx
xf
на интервале [0, +∞] не сохра-
няет знак, в то же время теоремы сравнения справедливы только для положи-
тельных функций. Рассмотрим функцию
()
2
cos
0
100
xx
fx
x
=
≥
+
. Для нее спра-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
