Составители:
Рубрика:
96
любого числа ε > 0, существует δ = δ(ε) > 0 такое, что для любого х > δ выпол-
няется неравенство:
()
,
()
fx
k
gx
ε
−< т.е.
()
()
fx
kk
gx
ε
ε
−
<<+
. Взяв, например, ε =
= k/2 и используя положительность функции g(x), получим два неравенства:
(
)
()
() 2 (),
() 3 2 ().
f
xk
g
x
f
xk
g
x
>
⎧
⎨
<
⎩
(5)
Учитывая, что при
c
о
= const ≠ 0 интегралы ()
a
g
xdx
+
∞
∫
и
o
()
a
c
g
xdx
+
∞
∫
сходят-
ся или расходятся одновременно, из неравенства (5) и теоремы 1 получаем, что
интегралы (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.
Если
k = 0, из равенства (4) и определения предела следует:
()
0()0:
()
fx
x
gx
ε
δδε δ ε
∀> ∃= > ∀> ⇒ <.
Взяв, например,
ε = 1, получаем отсюда, что 0 ≤ f(x) ≤ g(x), и из теоремы 1
выводим заключение теоремы 2: из сходимости интеграла (1) следует сходи-
мость интеграла (2).
Если значение
k в пределе (4) бесконечно ( k = +∞), то из равенства (4) и
определения бесконечного предела получаем
()
00:
()
fx
M
xM
gx
δδ
∀>∃> ∀>⇒ >.
Отсюда при
M = 1 имеем, что при x > δ выполнено неравенство f(x) > g(x). То-
гда в силу теоремы 1 из расходимости интеграла (1) следует расходимость ин-
теграла (2).
Теоремы 1 и 2 называют
теоремами сравнения. Из этих теорем следует,
что сходимость несобственного интеграла можно установить, не вычисляя его
значения, а просто сравнив его с интегралом от уже исследованной функции.
Для сравнения часто используют интеграл от степенной функции:
∫
∞+
a
p
x
dx
(см.
пример 1 п.3.1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
