Составители:
Рубрика:
95
получаем F(A) ≤ G(A) ≤
G
о
, т.е. функция F(A) ограничена. Поэтому существу-
ет конечный предел
o
)(lim FAF
A
=
+∞→
, и интеграл (2) сходится.
Наоборот, если интеграл (2) расходится, т.е.
+∞=
+∞→
)(lim AF
A
, то из нера-
венства
F(A) ≤ G(A) следует:
+
∞
=
+∞→
)(lim AG
A
. Поэтому интеграл (1) также
расходится.
Пусть теперь значение с > а. Если интеграл (1) сходится, то из доказан-
ной выше леммы следует, что сходится интеграл
()
c
g
xdx
+
∞
∫
. Поскольку для всех
x ≥ c справедливо неравенство 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то из доказанного, следует схо-
димость интеграла
∫
∞
+
c
dxxf )(
, откуда по лемме вытекает сходимость интеграла
(2). Если же интеграл (2) расходится, то расходится и интеграл
∫
∞+
c
dxxf )( . Из
неравенства
0 ≤ f(x) ≤ g(x) (при x ≥ c) и доказанного выше, следует расходи-
мость интеграла
∫
∞+
c
dxxg )( , откуда и следует расходимость интеграла (1).
Теорема полностью доказана.
Теорема 2. Если для функций f(x) ≥ 0 и g(x) > 0 существует предел
+∞≤≤=
+∞→
kk
xg
xf
x
0,
)(
)(
lim , (4)
то из сходимости несобственного интеграла (1) при
k < +∞, следует сходимость
интеграла (2), а из расходимости интеграла (1) при
k > 0 вытекает расходимость
интеграла (2).
Доказательство. Доказательство утверждения основано на теореме 1.
Если 0 <
k < +∞, то из равенства (4) и определения предела следует, что для
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
