Составители:
Рубрика:
93
3.3. Признаки сходимости несобственных интегралов
с бесконечными пределами интегрирования.
Cформулируем и докажем ряд утверждений, аналогичных соответствую-
щим утверждениям (признакам сравнения) для числовых рядов.
Теорема 1. Если для некоторого числа c при x ≥ c имеют место неравен-
ства:
0 ≤
f(x) ≤ g(x),
то из сходимости интеграла
∫
∞+
a
dxxg )( (1)
следует сходимость интеграла
() ,
a
f
xdx
+∞
∫
(2)
а из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).
Доказательство. Докажем сначала одно важное вспомогательное ут-
верждение.
Лемма. Пусть d – наименьшее из чисел a и c, т.е. d = min {a, c}, и пусть
функция
f(x) определена и интегрируема на любом конечном промежутке
[
d, A], где A > d. Тогда интегралы
∫
∞
+
a
dxxf )( и
∫
∞
+
c
dxxf )( сходятся или расхо-
дятся одновременно.
Действительно, имеем
∫∫∫
+=
A
a
c
a
A
c
dxxfdxxfdxxf )()()( . (3)
Переходя в обеих частях равенства (3) к пределу при А → +∞ с учетом то-
го, что
()
c
a
f
x dx const=
∫
, получим три возможных результата:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
