Составители:
Рубрика:
91
Определение 2. Несобственные интегралы от функции f(x) в интерва-
лах ( – ∞,
a] и ( – ∞,+∞) определяются аналогичным образом:
Если функция
f(x) определена на интервале ( – ∞, a] и для любого A < a
эта функция интегрируема на отрезке [
A, a], то
∫∫
∞−
−∞→
=
a
A
a
A
dxxfdxxf )(lim)( . (2)
Если функция f(x) определена на интервале ( – ∞, +∞) и интегрируема на
отрезке [
A, B] для любых A и B, таких, что A
< B, то
() lim ()
B
A
A
B
f
xdx f xdx
∞
→−∞
−∞
→+∞
=
∫∫
. (3)
Если пределы (2) или (3) существуют и конечны, то функция
f(x) называ-
ется интегрируемой на интервалах ( – ∞,
a] или ( – ∞, +∞), соответственно, а
про несобственные интегралы, определяемые выражениями (2) или (3), говорят,
что они с
ходятся. Если пределы (2) или (3) не существуют или бесконечны, то
говорят, что соответствующие интегралы
расходятся.
ПРИМЕР 3. Вычислить несобственный интеграл
2
1
dx
x
∞
−
∞
+
∫
.
Имеем
22
lim lim arctg lim (arctg arctg )
11
limarctg limarctg ( ) ,
22
B
B
A
AAA
A
BBB
BA
dx dx
x
BA
xx
BA
ππ
π
∞
→−∞ →−∞ →−∞
−∞
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →−∞
===−=
++
=−=−−=
∫∫
т.е. несобственный интеграл сходится.
Замечание. Все дальнейшие утверждения будут формулироваться для
несобственных интегралов вида (1), однако, аналогичные утверждения могут
быть сформулированы и доказаны для интегралов вида (2) и (3).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
