Составители:
Рубрика:
89
Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы,
зависящие от параметра.
Определенный интеграл
()
b
a
f
xdx
∫
в главе 2 был введен для случая ко-
нечного промежутка [
a, b] и ограниченной функции f (x). Теперь это понятие
можно обобщить на случай бесконечных промежутков интегрирования, а также
на случай неограниченных функций.
3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования.
Понятие определенного интеграла от функции f(x) на отрезке [a, b] в гла-
ве 2 вводилось на основе процедуры разбиения отрезка [
a, b] на вспомогатель-
ные подотрезки. Если функция
f (x) рассматривается на бесконечном интервале
[
a, +∞) или (– ∞, a], разбить ее область определения на конечное число подот-
резков невозможно. Поэтому определение понятия несобственного интеграла с
бесконечными пределами будем проводить на основе предельного перехода в
определенном интеграле.
Определение 1. Пусть функция
f (x) определена на интервале [a,+∞) и
при любом значении
A > a интегрируема на конечном отрезке [a, A]. Несобст-
венным интегралом функции
f (x) в пределах от a до +∞ называется предел
интеграла
()
A
a
f
xdx
∫
при A → +∞:
( ) lim ( )
A
A
aa
f
xdx f xdx
+∞
→+∞
=
∫∫
. (1)
Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что несобственный ин-
теграл
∫
∞+
a
dxxf )( сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой в беско-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
