Составители:
Рубрика:
94
1) пределы в правой и левой частях (3) одновременно не существуют;
2) оба этих предела бесконечны;
3) оба предела конечны. В этом случае имеет место равенство:
∫∫∫
∞+
∞
+
+=
a
c
ac
dxxfdxxfdxxf )()()( .
Лемма, таким образом, доказана. Из нее следует, что на сходимость (расходи-
мость) несобственного интеграла
∫
∞
+
a
dxxf )( влияет только поведение функции
f (x) при достаточно больших значениях аргумента x (т.е. при x >> 1) .
Теперь можно перейти к доказательству теоремы:
Пусть значение
с ≤ а. Тогда неравенство 0 ≤ f(x) ≤ g(x) справедливо для
всех
x ≥ а. Рассмотрим функцию
∫
=
A
a
dxxfAF )()( . Эта функция – неубываю-
щая. Действительно, из условия 0
≤ f(x) при
A
B > следует неравенство
)()()()( AFdxxfAFBF
B
A
≥+=
∫
.
Как известно, для монотонно неубывающей функции
F(A) всегда сущест-
вует предел:
o
,
lim ( )
,
A
F const
FA
→+∞
=<∞
⎧
=
⎨
+∞
⎩
Аналогичные утверждения справедливы и для функции
∫
=
A
a
dxxgAG )()(.
Итак, если интеграл (1) сходится, т.е. существует конечный предел
o
)(lim GAG
A
=
+∞→
, то функция G(A) ограничена, поскольку G(A) ≤
G
о
. Из нера-
венства
f(x) ≤ g(x), верного для всех x ≥ а, и свойств определенного интеграла
если
F(A) ограничена;
если F(A) не ограничена.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
