Составители:
Рубрика:
100
Замечание. В качестве φ(x) часто берут степенную функцию φ(x) = 1/x
p
,
p > 0. Эта функция, очевидно, монотонно стремится к нулю при x →+∞ .
ПРИМЕР 3. Исследовать на сходимость интеграл
dx
x
x
∫
∞
+
1
sin
.
Рассмотрим функции
21
11
)(
x
x
x ==ϕ
и ψ(x) = sin x. Первообразная
функции
ψ(x) ограничена:
()
xdx
x
x
cos1coscossin
1
1
−=−==Ψ
∫
ξξξ
, а значит
()
cos1 cos 2xxΨ≤ + ≤. Следовательно, по признаку Дирихле, инте-
грал
dx
x
x
∫
∞+
1
sin
сходится.
Докажем, что сходимость этого интеграла условная. Предположим про-
тивное: имеет место абсолютная сходимость, т.е. интеграл
1
sin x
dx
x
+
∞
∫
сходит-
ся. Тогда по теореме 1, в силу неравенств
xx sinsin0
2
≤≤
, сходится также ин-
теграл
dx
x
x
∫
∞
1
2
sin
. Но )2cos1(
2
1
sin
2
xx −= , а интеграл dx
x
x
∫
∞
+
1
2cos
, как можно
доказать, сходится по признаку Дирихле. Значит, по свойству несобственного
интеграла должен также сходится интеграл
∫∫∫
∞∞∞
+=
11
2
1
2cossin
2 dx
x
x
dx
x
x
x
dx
.
Получено противоречие (см. интеграл из примера 1 при
p = 1/2 < 1). Сделанное
предположение оказалось неверным, интеграл
1
sin x
dx
x
+
∞
∫
, на самом деле рас-
ходится.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
