Составители:
Рубрика:
101
3.4. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Рассмотрим теперь функцию f(x), заданную в конечном промежутке [a,b),
но не ограниченную на этом промежутке. Предположим, что функция
f(x) ог-
раничена и интегрируема на любом отрезке [
a, b – δ], где δ > 0, но не ограни-
чена на интервале (
b – δ, b). Точка b в этом случае называется особой точкой.
Определение 1. Несобственным интегралом функции f(x) в проме-
жутке от
a до b называется предел интеграла
∫
δ
−
b
a
dxxf )( при δ→0 (конечный
или бесконечный):
∫∫
δ−
→δ
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
. (1)
Если предел (1) конечен, то говорят, что несобственный интеграл
сходится, а
функцию
f(x) называют интегрируемой в промежутке [a,b). Если предел (1)
бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл
расхо-
дится
.
Аналогично, для функции
f(x), определенной и интегрируемой в проме-
жутке [
a + δ, b] и неограниченной на интервале (a, a + δ) определяется несобст-
венный интеграл
∫∫
δ+
→δ
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
. (2)
Здесь точка a – особая точка функции f(x) .
Возможен случай, когда особые точки расположены внутри отрезка [
a, b].
Пусть
a ≤ c
1
< c
2
<…< c
n
≤ b, где c
1
, c
2
,…, c
n
– особые точки функции f(x), т.е.
f(x) не ограничена в окрестностях точек c
i
, но ограничена и интегрируема на
отрезке [
a, b] с выброшенными окрестностями точек c
i
. Тогда несобственный
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
