Составители:
Рубрика:
103
1
1
11
00
0
1
1
0
0
,
1
lim lim
ln ,
1
1
lim , 1,
,1,
11
1
lim ln , 1,
,1.
p
pp
p
x
dx dx
p
xx
x
p
p
pp
p
p
p
δ
δδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−+
→→
−
→
→
⎧
⎪
⎪
−+
== =
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎧
−≠
⎪
<
⎪⎪
−−
−
==
⎨⎨
⎪⎪
−=
+∞ ≥
⎩
⎪
⎩
∫∫
Итак,
несобственный интеграл
∫
1
0
p
x
dx
сходится при p < 1, а при p ≥ 1
этот интеграл
расходится, (в отличие от несобственного интеграла
1
p
dx
x
+∞
∫
из
примера 1 п.3.1).
ПРИМЕР 3. Исследовать на сходимость интеграл
()
∫
−
2
0
2
1x
dx
.
Особая точка х = 1 лежит внутри отрезка интегрирования. По определению,
() () ()
() ()
() ()
.)(2)(
1
1
lim11
1
1
lim
1
1
1
1
111
0101
2
01
01
0
2
1
2
1
0
2
2
0
2
+∞=+∞+−−∞−=
−
+−−
−
−=
=
−
−
−
−
=
−
+
−
=
−
+→−→
+
−
∫∫∫
xx
xx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
Интеграл расходится.
Замечание. Пример 3 демонстрирует, как важно начинать исследование
несобственного интеграла с определения особых точек. Ведь, если решать его
формально по формуле Ньютона – Лейбница для определенных интегралов:
()
2
1
1
1
2
0
2
0
2
−=
−
−=
−
∫
x
x
dx
, (???)
был бы получен неверный результат.
Для несобственных интегралов от неограниченных функций справедливы
те же утверждения, что и для несобственных интегралов с бесконечными пре-
при
p ≠ 1,
при
p = 1,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
