Составители:
Рубрика:
102
интеграл от функции f(x) по отрезку [a, b] определяется как сумма несобствен-
ных интегралов вида (1) и (2):
1
1
1
1
() () () ()
i
in
c
c
bb
n
i
aa c c
f
xdx
f
xdx
f
xdx
f
xdx
+
−
=
=+ +
∑
∫∫ ∫ ∫
, (3)
где
112
1
() lim lim ()
00
12
ii
ii
cc
cc
f
xdx
f
xdx
δ
δ
δδ
−
++
+
=
→→
∫∫
.
Если
c
1
= a, то первое слагаемое в правой части (3) отсутствует. Если c
n
= b, то
отсутствует последнее слагаемое.
Определение 2. Интегралы вида (1) – (3) из разделов 3.1 и 3.4 называ-
ются
несобственными интегралами (в отличие от изученных в главе 2 опреде-
ленных интегралов Римана, называемых
собственными).
ПРИМЕР 1. Вычислить несобственный интеграл
∫
−
−
1
1
2
1 x
dx
.
Здесь особые точки подынтегральной функции – точки
x = ±1. По формуле
(3) имеем
() ( )
2
1
1
2
21
1
1
0
22
11
0
21
00
lim
11
lim arcsin 1 lim arcsin 1 .
22
dx dx
xx
δ
δ
δ
δ
δδ
ππ
δ
δπ
−
→
−−+
→
→→
==
−−
−
⎛⎞
=−−−+=−=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
ПРИМЕР 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
∫
1
0
p
x
dx
.
Подынтегральная функция на отрезке [0, 1] имеет единственную особую
точку:
x = 0. По определению получаем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
